三角形の合同の証明では、どの三角形を比べるかが見つからずに止まってしまうことがあります。
この記事では、二等辺三角形の性質を使って角をそろえ、△ABDと△ACEの合同からBD＝CEを示す流れがわかります。
先に動画で確認したい方はこちらからどうぞ。
今回の問題
下の図のように、頂点Aが共通な△ABCと△ADEがあり、点C、A、Dは一直線上にあります。
AB＝AC、AD＝AE、∠ACB＝∠ADEのとき、BD＝CEであることを証明しなさい。
解き方（ステップ解説）
ステップ1: 二等辺三角形を見つける
まず、問題文にある等しい辺に注目します。
AB＝ACより、△ABCは二等辺三角形です。
AD＝AEより、△ADEも二等辺三角形です。
証明では、問題文の条件を図に印として書きこみ、使える性質を見つけることが大切です。
ステップ2: ∠BAC＝∠DAEを示す
△ABCでは、AB＝ACなので底角が等しくなります。
つまり、∠ABC＝∠ACBです。
△ADEでは、AD＝AEなので底角が等しくなります。
つまり、∠ADE＝∠DEAです。
また、問題文より∠ACB＝∠ADEです。
そのため、2つの二等辺三角形は底角が等しいので、残りの頂角も等しくなります。
∠BAC＝∠DAE
ステップ3: 間の角 ∠BAD＝∠CAE を示す
次に、△ABDと△ACEを合同にするため、間の角を比べます。
∠BADは、∠BAEと∠EADを足した角です。
∠BAD＝∠BAE＋∠EAD
∠CAEは、∠BAEと∠BACを足した角です。
∠CAE＝∠BAE＋∠BAC
ここで、∠BAEは共通の角です。
さらに、ステップ2で∠BAC＝∠DAEとわかっています。
∠EADと∠DAEは同じ角の表し方なので、∠EAD＝∠BACです。
共通の角に、等しい角を足しているので、∠BAD＝∠CAEとなります。
ステップ4: △ABDと△ACEの合同からBD＝CEを導く
△ABDと△ACEに注目します。
AB＝ACは、問題文の条件です。
AD＝AEも、問題文の条件です。
さらに、ステップ3より∠BAD＝∠CAEです。
よって、2組の辺とその間の角がそれぞれ等しいので、△ABD≡△ACEです。
合同な図形では、対応する辺の長さは等しくなります。
したがって、対応する辺であるBDとCEは等しいです。
BD＝CE
よくあるミス・つまずきポイント
1つ目は、どの三角形を合同にするかを見失うことです。
今回は、証明したいBDとCEをそれぞれ含む△ABDと△ACEを比べるのがポイントです。
2つ目は、∠BAD＝∠CAEをいきなり書いてしまうことです。
この角は問題文に直接書かれていないので、∠BAD＝∠BAE＋∠EAD、∠CAE＝∠BAE＋∠BACのように分けて説明します。
合同条件に使う角は、なぜ等しいのかを必ず言葉と式で示しましょう。
まとめ
- AB＝AC、AD＝AEから、△ABCと△ADEが二等辺三角形だとわかります。
- 底角が等しいことと∠ACB＝∠ADEから、∠BAC＝∠DAEを示します。
- ∠BADと∠CAEを分解し、共通の∠BAEを使って等しいことを説明します。
- △ABD≡△ACEより、対応する辺としてBD＝CEがいえます。
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