空間図形の中に、さらに小さな立体ができている——見た瞬間に「うわ、ごちゃごちゃしてる」と手が止まってしまう。中1数学の空間図形で、とても多い悩みです。
三角すいの中にできた三角すいの体積を求める問題が苦手です。図がごちゃごちゃしていて、そもそもどこを底面にして、どこを高さにすればいいのかが分かりません。
あー、その気持ちすごくわかる。でもこの問題、実は「Dで3辺が垂直に交わっている」っていう1点に気づけたら、一気にラクになるんだ。しかも面積を直接計算しなくても、「比」を使えば一撃で出せる。今日はそこを一緒に見ていこう。
この記事では、公式LINEに実際に届いた問題を例に、垂直な3辺を軸にした底面・高さの選び方と、比を使って底面積を求める手順を順番に説明します。
先に動画で確認したい方はこちらからどうぞ。
1. 今回の問題
まずは問題文です。
> 三角すいA-BCDがあり、AD＝9cm、BD＝10cm、CD＝6cm、∠ADB＝∠ADC＝∠BDC＝90°である。
> 点E, F, Gはそれぞれ辺AC, AD, BD上の点で、AE:EC＝3:2、AF＝4cm、BG＝1cmとする。
> このとき、三角すいD-EFGの体積を求めなさい。
ポイントは∠ADB＝∠ADC＝∠BDC＝90°の部分。点Dで、辺DA・DB・DCの3本が、おたがいに直角に交わっているという意味です。ここが今日の主役になります。
2. カギは「Dで3辺が垂直に交わっている」こと
三角すいの体積は、次の公式で求めます。
三角すいの体積＝底面積×高さ×1/3
ここで大事なのが、どの面を底面に選んでもいいということ。底面を決めたら、その底面に垂直な方向の長さが「高さ」になります。
今回はDで3辺が垂直に交わっているので、三角形EFDを底面に選ぶと、残りの辺DGがそのまま「高さ」になってくれます。垂直な3辺があるからこそ、底面と高さがきれいに直角の関係で取れるわけです。
ごちゃごちゃした立体こそ、「垂直に交わっている3本の辺」を柱にして見るのがコツ。今回は底面をEFD、高さをDGにするよ。
「どこを底面にしよう」と悩む前に、まず直角に交わっている辺を探す。これが空間図形を攻略する入口です。
3. まず「高さ」を決める：DG＝9cm
底面を三角形EFD、高さをDGと決めました。まずは求めやすい高さDGから出します。
点Gは辺BD上にあり、BD＝10cm、BG＝1cmです。DGは、BDからBGを引いた残りなので、
DG＝BD−BG＝10−1＝9（cm）
あとで使うので、DFも先に出しておきます。点Fは辺AD上にあり、AD＝9cm、AF＝4cmなので、
DF＝AD−AF＝9−4＝5（cm）
ここ、与えられた10や9をそのまま高さに使っちゃう子が多い。「引き算して残りを出す」のを忘れないでね。
4. 底面（三角形EFD）の面積は「比」で一撃
残るは底面＝三角形EFDの面積です。ここが今日の山場。面積を直接は求めません。かわりに「比」を2回かけて出します。
まず、点A・C・Dでできる大きな三角形ACDを考えます。∠ADC＝90°なので、底辺CD＝6、高さAD＝9の直角三角形です。その面積は、
三角形ACDの面積＝6×9×1/2＝27（cm²）
この27cm²を出発点にして、求めたい三角形EFDが「全体のどれだけを占めているか」を比で追いかけます。
① 点Eの比（AE:EC＝3:2）を使う
点EはACを3:2に分ける点です。三角形ACDを、Dから点Eへの線で2つに分けると、三角形AEDと三角形CEDの面積比は、底辺の比AE:ECと同じ3:2になります。だから三角形AEDは、全体の 3/5 です。
三角形AED＝27×3/5
② 点Fの比（DF:AD＝5:9）を使う
次に、三角形AEDの中で、求めたい三角形EFDがどれだけを占めるかを見ます。点Fは辺AD上にあり、DF＝5cm、AD＝9cm。三角形EFDと三角形EADは、頂点Eを共有して底辺がFDとADなので、面積比はFD:AD＝5:9。求めたい三角形EFDは、三角形AEDの 5/9 です。
三角形EFD＝（27×3/5）×5/9
③ かけて計算する
あとはかけ算するだけ。ここで5がきれいに約分で消えるのが気持ちいいところです。
三角形EFD＝27×3/5×5/9＝27×1/3＝9（cm²）
底面積は9cm²と出ました。
5. 体積を求める＋答えの吟味
底面積9cm²、高さ9cm がそろいました。三角すいの体積公式にあてはめます。
三角すいD-EFGの体積＝底面積×高さ×1/3
＝9×9×1/3
＝81×1/3
＝27（cm³）
答えは27cm³です。
＜検算＞ 点Dを原点にして、垂直な3辺DA・DB・DCをそれぞれ座標軸のように置いて確かめることもできます（発展）。E・F・Gの位置を座標で出して体積を計算しても、ぴったり27cm³になります。比を使った解き方が正しかったと確認できます。
面積を直接ゴリゴリ求めなくても、比を2回かけるだけで9cm²、そして体積27cm³。これが「比を使えば一撃」の意味だよ。
6. よくあるつまずき3つ
つまずき①：どこを底面にすればいいか分からない
今日の一番の関門です。図がごちゃごちゃしていると、底面選びで固まってしまいます。解決のカギは「垂直に交わっている辺を探す」こと。Dで3辺が直角に交わっているので、三角形EFDを底面にすれば、DGが自動的に高さになります。迷ったら、直角の関係が使える面を底面にしましょう。
つまずき②：比のかける向き・分数の上下を間違える
3/5 と 5/9、どちらも「求めたい三角形が全体のどれだけを占めるか」で分子を決めます。Eの側は3の方（3/5）、Fの側はDFの方（5/9）。ここでうっかり2/5にしたり4/9にしたりすると答えが変わります。「今かけている比は、どの三角形を全体の何分のいくつにしているのか」を、そのつど言葉にして確認してください。
つまずき③：高さの引き算や、最後の×1/3を忘れる
DG＝10−1＝9、DF＝9−4＝5のように、長さは引き算して残りを出すのを忘れずに。そして三角すいの体積は、最後に必ず×1/3をします（同じ底面・高さの三角柱の3分の1だからです）。底面積×高さで止めてしまうと、答えが3倍の81cm³になってしまいます。
7. FAQ
Q. どうして底面と高さを自由に選んでいいの？
三角すいの体積は「底面積×高さ×1/3」で決まり、どの面を底面にしても同じ体積になるからです。大事なのは「底面に対して垂直な長さ」を高さに取ること。今回はDで3辺が垂直なので、三角形EFDを底面にするとDGがちょうど垂直になり、高さとしてそのまま使えます。
Q. 比を使わずに、底面の三角形EFDの面積を直接求めることはできますか？
できます。相似や三平方の定理を使って辺の長さや高さを出せば、直接計算することも可能です（正攻法）。ただし計算が重くなりがちです。今回のように分けられる辺の比がわかっているときは、比を2回かけるほうが約分で一気に片づくので圧倒的にラクです。
Q. AF＝4cmしか書いていないのに、DF＝5cmはどこから来たの？
点Fは辺AD上の点で、AD全体が9cmです。AFが4cmなら、残りのDFはAD−AF＝9−4＝5cmになります。同じように、DGもBD＝10cmからBG＝1cmを引いて9cmと求めています。「全体−一部＝残り」で出すのがポイントです。
8. まとめ
・Dで3辺が垂直に交わる三角すいは、どの面を底面にしても高さが「垂直な辺」でそのまま取れる
・今回は底面＝三角形EFD、高さ＝DG＝10−1＝9cm
・底面積は直接求めず「比」で：全体の三角形ACD＝6×9×1/2＝27cm²
・27×3/5×5/9＝9cm²（5が約分で消えるのがポイント）
・体積＝底面積×高さ×1/3＝9×9×1/3＝27cm³
・比のかけ算は「求めたい三角形が全体のどれだけを占めるか」で分子を決める
・三角すいだから、最後の×1/3を忘れない
この問題は、Lafの公式LINEに実際に届いた質問をもとに動画で解説したものです。「空間図形で底面と高さの選び方がわからない」「比を使う解き方の途中式が合っているか見てほしい」——そんなときは、公式LINEから気軽に送ってください。
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