60°の三角形の作図って、結局は分度器で角度をはかるんですよね？
それが、分度器なしでもいけるんです。コンパスで正三角形をつくると、その角がぴったり60°になるんですよ。今日はそのカラクリを一緒に見ていきましょう。
作図の問題は、道具のルールが決まっているのがポイントです。「コンパスだけ」「定規は線を引くだけ」と言われた瞬間に、多くの子が固まってしまいます。でも、種明かしをしてしまえば「なんだ、そういうことか」と拍子抜けするくらいシンプルです。今日はその考え方を、順番にほどいていきますね。
先に動画で確認したい方はこちらからどうぞ。
今回の問題
> AB=5cm、BC=4cm、∠B=60°の△ABCを作図しなさい。
> ただし、使えるのはコンパスと、線を引くための定規だけとする（分度器は使わない）。
パッと見ると「∠B=60°」という角度の指定があるので、つい分度器に手が伸びます。でも、この問題のねらいは「角度を、道具ではなく図形の性質でつくれるか」です。ここに気づけるかどうかが分かれ道になります。
核となる考え方：60°は正三角形からもらってくる
思い出してほしいのが、正三角形の性質です。
正三角形は3つの辺の長さがすべて等しく、3つの内角はすべて60°になります。
三角形の内角の和は180°ですね。正三角形は角も全部同じ大きさなので、180°を3つに分けて、ひとつ60°。だから正三角形の角は、はかるまでもなく必ず60°なのです。
そして正三角形は、コンパスさえあれば作図できます。「同じ長さ」はコンパスの得意技だからです。コンパスの開きを固定すれば、どこを中心にしても同じ半径の円がかけますよね。この「同じ長さを写しとる力」を使えば、3辺が等しい三角形＝正三角形が作れて、そのおまけとして60°の角が手に入る、というわけです。
つまり作戦はこうです。
- まずBのところに、コンパスで小さな正三角形をつくる
- その正三角形の辺を、60°のガイドライン（目印の線）として使う
- ガイドラインの上に、Bから5cmの点Aをとる
このイメージを持ったまま、実際の手順に進みましょう。
解法：3ステップで作図する
ステップ1：底辺BCを引く
まず定規で、長さ4cmの線分BCを引きます。
左に点B、右に点Cとしておきましょう。
これが三角形の土台になります。ここはコンパスで4cmをとってもいいですし、定規の目盛りで4cmをとってもかまいません。
ステップ2：Bのところに60°をつくる
ここが今回の山場です。Bを頂点にした正三角形をつくって、60°のガイドラインを引きます。
- コンパスの開きを4cmにする
- Bを中心にして、上のほうに弧をかく
- 開きは4cmのまま、Cを中心にして、同じく上のほうに弧をかく
- 2本の弧が交わった点を、仮にPとする
このとき、BP＝BC＝CP＝4cmになっていますね。3辺が全部4cmなので、△BCPは正三角形です。
正三角形の角なので、∠PBC＝60°が自動的にできあがります。分度器はいっさい使っていません。
あとは定規で、BとPを通る直線を引きます。この直線が、Bから60°の方向にのびるガイドラインです。
ステップ3：ガイドライン上にAをとって仕上げる
最後に、AB=5cmになるように点Aを決めます。
- コンパスの開きを5cmにする
- Bを中心にして弧をかき、ステップ2で引いたガイドラインと交わる点を求める
- その交点が、点A
これでBA＝5cm、∠ABC＝60°がそろいました。
あとは定規でAとCを結べば、△ABCの完成です。
検算：本当に条件を満たしているか確かめる
作図が終わったら、指示された3つの条件を1つずつ見直します。
- BC＝4cm … ステップ1で4cmの線分として引いたのでOK
- ∠B（∠ABC）＝60° … 正三角形△BCPの角をそのまま使ったのでOK
- AB＝5cm … ステップ3でコンパスを5cmに開いてとったのでOK
3つとも条件どおりになっていますね。
ちなみに、AC（残りの辺）の長さは「なりゆき」で決まります。今回はABとBCと∠Bの3つが決まれば三角形は1つに定まるので、ACの長さは自分で決める必要はありません。逆にいうと、指定された3つの条件を正しく作図できていれば、三角形はひとつに決まるということです。ここも押さえておくと安心です。
よくあるつまずき
その1：反射的に分度器を出してしまう
「60°」と書いてあると、どうしても分度器で角度をはかりたくなります。でも問題文に「コンパスだけ」とあれば、分度器を使った時点でルール違反です。角度が出てきたら「正三角形（60°）や垂直二等分線（90°）で作れないかな？」と一度立ち止まる。この一拍が大事です。
その2：正三角形の作図そのものがあやふや
「同じ半径の弧を2つ交わらせると正三角形ができる」という手順が身についていないと、ステップ2で手が止まります。ここは作図の基本パーツなので、何回か手を動かして体になじませておくと、どの問題でも使い回せます。
その3：コンパスの開きを途中で変えてしまう
ステップ2では、BとCの両方で「同じ4cm」の弧をかくのがカギです。片方だけ開きを変えてしまうと、3辺が等しくならず、できる角も60°からズレます。弧をかいている間はコンパスの開きを変えない、と意識しておきましょう。
FAQ
Q. 90°（垂直）の作図はどうやりますか？
A. 90°は「垂線」や「垂直二等分線」の作図で作れます。ある点から、同じ半径の弧を線の上下で交わらせて、その2つの交点を結ぶと、もとの線と直角に交わる線が引けます。角度をはかるのではなく、左右対称の形から直角を取り出すイメージです。
Q. 30°の作図はできますか？
A. できます。今回のように60°を作ってから、その角を半分に分ける「角の二等分線」の作図を重ねると、30°になります。60°→半分で30°、という2段構えですね。
Q. 45°はどうやって作りますか？
A. まず90°（垂直）を作図して、その角を角の二等分線で半分にすると45°になります。「90°の半分」と考えると分かりやすいです。角度の作図は、60°・90°という土台を作って、そこから半分にしていくのが基本の発想になります。
まとめ
- 60°の角は、分度器を使わなくても正三角形の性質でコンパスだけで作れる
- 正三角形は3辺が等しく、3つの内角はすべて60°になる
- 手順は3ステップ … ①BC=4cmを引く ②Bに正三角形を作って60°のガイドラインを引く ③ガイドライン上にBから5cmの点Aをとる
- 作図のあとは、指定された3つの条件（辺・角・辺）を1つずつ検算する
- 角度が出てきたら分度器ではなく「正三角形や垂線で作れないか」と一度立ち止まる
作図は、道具のルールと図形の性質がかみ合った瞬間に一気に景色が変わる単元です。「60°＝正三角形からもらう」という発想が入ると、30°や45°への応用もつながって見えてきます。
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