【中3数学】二次方程式の解の一つが-4のとき、aの値ともう1つの解の求め方｜因数分解の裏技で組み合わせ探しをゼロに

二次方程式の計算そのものはできるのに、「解の一つが-4のとき」という条件がついたとたん、どこから手をつければいいのか分からなくなる。中3の二次方程式で、とても多いつまずきです。

生徒

(1)のaは何とか出せたんですけど、(2)で x²+16x+48=0 になってから止まりました。かけて48になる組み合わせを1×48、2×24…って順番に書き出していたら、テストの時間が全然足りなくて。

おっしー

その書き出し、今回は1回もやらなくていいんだ。だって「解の一つは-4」って、問題文がもう教えてくれてるでしょ。そこを使えると、48の組み合わせ探しは丸ごと消える。順番に見ていこうか。

これは、Lafの授業でも公式LINEでもよく出てくるつまずきです。この記事では、条件からaを求めるところと、分かっている解を使って因数分解を一気に片づけるところを、順番に説明します。

先に動画で確認したい方はこちらからどうぞ。

今回の問題
考え方の核: 「解」とは、代入すると成り立つ数
ステップ1: x=-4を代入して、aの値を求める
ステップ2: aを元の式にもどして、数字だけの式にする
二次方程式の因数分解の裏技: 解が一つ分かっていれば組み合わせは探さなくていい
ステップ3: 解を書き出して、「もう1つ」を選ぶ
検算: 本当に成り立つか、元の式にもどして確かめる
よくあるつまずき
FAQ
まとめ
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今回の問題

今回考えるのは、次の問題です。

> xについての二次方程式 x²+ax+3a=0 の解の1つが -4 のとき、
> (1) aの値を求めなさい
> (2) もう1つの解を求めなさい

xとaという文字が2つ出てくるので身構えてしまいますが、やることは決まった手順に落ちます。実際に解いていく様子は動画でも解説しています。手つきごと見たい人はこちらもどうぞ。

考え方の核: 「解」とは、代入すると成り立つ数

この問題を解くカギは、たった1つの意味の確認です。

「解」とは、その値をxに代入すると＝0がちゃんと成り立つ数のこと。

たとえば「x=2が解」なら、その方程式のxに2を入れたとき、左辺が0になります。逆に言えば、解だと分かっている値は、遠慮なく式に代入していいということです。

今回は「解の1つが-4」と教えてもらっています。ということは、xに-4を入れれば式は必ず成り立つはず。文字aが残っていても関係ありません。これが(1)の突破口です。

分からない文字を消そうとするのではなく、分かっている条件をそのまま式に入れて、文字の正体を求めにいく。この発想の切り替えができると、このタイプは一気にラクになります。

ステップ1: x=-4を代入して、aの値を求める

x²+ax+3a=0 のxに、解である-4を代入します。

(-4)²+a×(-4)+3a=0

ここで気をつけるのは、xが入っている場所は「ax」だけではないということ。先頭の x² にも-4が入ります。計算すると (-4)²=16 です。マイナスの2乗なので、答えはプラスの16になります。

16-4a+3a=0

あとは、aの項どうしをまとめます。-4a+3a は、-4+3=-1 なので -a です。

16-a=0

これはもう、ただの一次方程式ですね。-aを右辺に移すか、16を移項するかはどちらでも構いません。

a=16

これが(1)の答えです。二次方程式に見えていた式が、解を1つ代入しただけで一次方程式に化けました。解が1つ分かっている問題は、まず代入。ここが今日いちばん伝えたいところです。

ステップ2: aを元の式にもどして、数字だけの式にする

a=16が分かったので、元の式 x²+ax+3a=0 にa=16を入れて、文字aを消します。

axの部分は16x、3aの部分は 3×16=48 です。

x²+16x+48=0

これで、aの消えたふつうの二次方程式になりました。ここからが(2)の本番です。

多くの人は、ここで「かけて48、足して16になる2つの数」を探しはじめます。48になる組み合わせは 1×48、2×24、3×16、4×12、6×8 と5通りもあるので、上から順に足し算を試していくと、それなりに時間がかかります。

でも今回は、探さずに済みます。

二次方程式の因数分解の裏技: 解が一つ分かっていれば組み合わせは探さなくていい

ここが、この問題のいちばんおいしいところです。

因数分解した形が (x+A)(x+B)=0 のとき、解は x=-A と x=-B になります。カッコの中を0にする値が解なので、符号がひっくり返るわけですね。

これを逆から読みます。今回は「解の1つが-4」と分かっています。ということは、

x=-4 になるカッコ、つまり (x+4) が因数の1つで確定

です。探すまでもなく、片方はもう手に入っています。

では、もう片方のカッコの中身は何か。(x+4)(x+□) を展開したときの定数項は 4×□ です。それが48なのだから、

48÷4=12

□=12

もう片方は (x+12) だと、割り算1回で決まりました。5通りの組み合わせを書き出す必要はどこにもありません。

(x+4)(x+12)=0

念のため、xの係数も合っているか見ておきます。4+12=16 で、たしかに x²+16x+48 の16と一致しています。定数項を割って求め、xの係数で答え合わせをする。この2手で因数分解が閉じます。

おっしー

かけて48になる数を全部書き出すのは、「両方とも分からないとき」のやり方なんだ。今日は片方をもらってるんだから、割り算で一発。問題文がくれた情報は、必ずどこかで使えるようになってるよ。

なお、この裏技が使えないのは分かっている解が0のときだけです。0では割れないからですが、そのときは定数項も0になるので、共通因数のxでくくれば同じくらい速く終わります。

ステップ3: 解を書き出して、「もう1つ」を選ぶ

(x+4)(x+12)=0 から解を出します。かけて0になるのは、どちらかのカッコが0のときです。

x+4=0 より x=-4

x+12=0 より x=-12

x=-4, -12

2つ出そろいました。このうち x=-4 は、問題文が最初から教えてくれていた「1つ目の解」です。

(2)が聞いているのは「もう1つの解」。ですから答えは、もう片方の

x=-12

になります。せっかく計算が合っていても、答える解を取り違えると×になってしまいます。最後にどちらが「もう1つ」なのかを必ず確認してください。

検算: 本当に成り立つか、元の式にもどして確かめる

出た答えは、必ず元の式にもどして確かめます。テストで見直す時間が30秒あれば、これだけはやる価値があります。

まず、(1)で求めた a=16 と、はじめから分かっていた解 x=-4 の組。

(-4)²+16×(-4)+3×16

=16-64+48

成り立っています。次に、(2)で求めた x=-12 を、同じ a=16 の式に入れます。

(-12)²+16×(-12)+3×16

=144-192+48

こちらも0になりました。2つとも同じ式で0になったので、a=16 も x=-12 も正しいと確認できます。

答えの吟味としてもう一点。(1)の答えは数のa、(2)の答えは解のxで、聞かれているものが違います。解答欄に「a=16」「x=-12」と、何を答えたのかまで書いておくと、部分点を落としにくくなります。

よくあるつまずき

つまずき①: x²の項にも代入することを忘れる

いちばん多いのがこれです。x=-4を代入するとき、axの部分だけに-4を入れて、先頭のx²をそのまま放置してしまう。すると、

-4a+3a=0

-a=0

a=0

となって、a=0という答えが出てきます。ですが、a=0だと元の式は x²=0 になり、解は x=0 だけ。「解の1つが-4」という条件と食い違ってしまいます。答えが条件と矛盾したら、代入もれを疑うのが近道です。

同じ場所でもう1つ多いのが、(-4)²を-16としてしまう符号ミス。マイナスの2乗はプラスです。(-4)×(-4)=16 と、いったんかけ算の形にもどして書くと間違えにくくなります。xが顔を出している場所を、代入する前に指で数える。それだけで防げるミスです。

つまずき②: 48になる組み合わせを闇雲に探してしまう

x²+16x+48=0 まで来てから、1×48、2×24、3×16、4×12、6×8 と全部書き出して、そのたびに足して16になるかを試す。間違いではありませんが、今回はその作業が丸ごと不要です。

解の1つが-4だと分かっている時点で、(x+4)が因数だと確定しています。あとは 48÷4=12 の割り算1回で、もう片方は(x+12)。組み合わせを探すのは「両方とも分からないとき」のやり方で、今回は片方をもらっているのだから使う道具が違う、と考えてください。

数が大きくなるほど差が出ます。もし定数項が48ではなく144や180だったら、書き出す組み合わせはさらに増えますが、割り算1回で決まるという点は何も変わりません。

FAQ

Q. どうして「解が-4」だと、因数の一つが(x+4)だと言い切れるのですか？

A. (x+4)(x+12)=0 のように、かけて0になる式では「どちらかのカッコが0」です。x=-4のとき0になるカッコは、中身が x+4 のときだけ。だから解が-4なら、(x+4)というカッコが必ずどこかにある、と言えます。カッコの中身と解は符号が逆になる、と覚えておくと迷いません。

Q. 解の公式を使って解いてもいいですか？

A. もちろん大丈夫です。x²+16x+48=0 に当てはめると、根号の中は 16²-4×1×48=256-192=64 で、√64=8。

x=(-16±8)÷2

となり、(-16+8)÷2=-4、(-16-8)÷2=-12 で、同じ答えにたどり着きます。因数分解の形が見えないときの安全網として使えますが、今回のように片方の解が分かっている問題では、割り算1回で終わる因数分解のほうが速いです。

Q. (2)の答えに x=-4 も書いたら×になりますか？

A. 問題が「もう1つの解を求めなさい」と聞いているので、答えるのは x=-12 だけです。-4は問題文に書いてある既知の情報で、求めた答えではありません。ただし設問が「解をすべて求めなさい」であれば、x=-4, -12 の両方を書きます。何を聞かれているかで答え方が変わるので、問題文の最後の一文まで読む習慣をつけましょう。