この問題、√の中に文字が入っていて、何から手をつけていいか分からないです…
一見複雑に見えるけど、実はやることは2つだけなんだ。順番に整理していこうか。
先に動画で確認したい方はこちらからどうぞ。
今回の問題
次の問題を考えます。
√((50-2n)/3) が自然数となるとき、自然数nの値をすべて求めなさい。
平方根の中に文字式が入っている、いわゆる「整数条件」の問題です。高校入試の応用問題としてもよく出るタイプで、パッと見て身構えてしまう人も多いですが、条件を2つに分けて整理すれば見通しが立ちます。
自然数の定義を確認する
まず前提として、自然数＝正の整数です。「0以外の整数」と覚えている人もいますが、それだと負の数まで含まれてしまうので注意してください。
平方根が自然数になる2つの条件
√((50-2n)/3) が自然数になるためには、次の2つの条件を同時に満たす必要があります。
- 条件1: 分数ではない。(50-2n)/3 が整数になること。つまり、50-2n が3の倍数であること
- 条件2: ルートが外れる。(50-2n)/3 が「何かの2乗」の形になること
この2つを1つの式にまとめると、自然数xを使って
50-2n = 3x²
と表せます。3の倍数であり、かつ2乗の形をしている、このxを見つけていくのが今回のゴールです。
nについて解く
50-2n = 3x² を、nについて解いていきます。
2n = 50-3x²
n = 25 – 3x²/2
nが自然数であるためには、この式が整数になる必要があります。分母の2が邪魔なので、xは2の倍数でなければなりません（xも自然数として置いているため）。
xに小さい方から代入していく
xが自然数かつ2の倍数なので、小さい順に2, 4, 6…と代入して確かめます。
x=2のとき
n = 25 – 3×2×2/2 = 25 – 6 = 19
x=4のとき
n = 25 – 3×4×4/2 = 25 – 24 = 1
x=6のとき
n = 25 – 3×6×6/2 = 25 – 54 = -29
x=6以降はnが負の数になってしまい、自然数の条件を満たしません。つまり、xを大きくすればするほどnはどんどん小さくなっていくので、x=6以降は考えなくてよいということです。
答え
n = 19, 1
この2つが答えになります。
よくあるつまずき
- 「自然数」を「0以外の整数」と覚えてしまい、負の数を含めて計算してしまう
- 平方根の中身が「3の倍数」であることだけに気を取られ、「2乗の形」であることを見落とす
- xに大きい値まで機械的に代入し続けてしまう（nが負になった時点で打ち切ってOK）
FAQ
Q. なぜxは2の倍数でなければいけないのですか？
A. n = 25 – 3x²/2 の分母が2なので、3x²が2で割り切れる必要があります。3は奇数なので、x²（つまりx）が2の倍数でなければ割り切れません。
Q. xが1や3のような奇数のときはどうなりますか？
A. 3x²が偶数にならず、nが分数になってしまうため、自然数という条件を満たしません。
この問題のポイント
- 自然数＝正の整数（0や負の数は含まない）
- 平方根が自然数になる条件は「分数にならない」「ルートが外れる」の2つ
- 式を作ったら、小さい値から順に代入し、答えが負になったら打ち切る
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