立方体の中に斜めの面でできた六角錐が出てくると、底面積をどう求めればよいか迷いやすいです。
この記事では、底面積を直接求めずに、立方体全体から余分な部分を引いて六角錐の体積を求める考え方がわかります。
先に動画で確認したい方はこちらからどうぞ。
今回の問題
一辺の長さが6cmの立方体ABCDEFGHがあります。
点I、J、K、L、M、Nは、それぞれ図に示された辺の中点です。
これらの点I、J、K、L、M、Nを結んでできる六角形を底面とし、点Bを頂点とする六角錐の体積は何cm3ですか。
この問題では、六角形の底面積を正面から求めようとせず、立方体からいらない部分を引いて考えます。
解き方（ステップ解説）
ステップ1: 底面積を直接求めない方針にする
六角錐の体積は、本来なら「底面積 × 高さ ÷ 3」で求めます。
しかし、今回の底面は立方体の中に斜めにできている六角形なので、底面積を出すのがかなり大変です。
そこで、立方体全体から、六角錐ではない部分を引いて求めます。
空間図形では、直接求めにくいときに「全体から引く」考え方がとても大切です。
ステップ2: 立方体を別の向きから見て半分を引く
まず、立方体をD、A、Bの側から見える向きに変えて考えます。
この向きで見ると、Aの下にE、Bの下にF、Dの下にHがある形として見ることができます。
さらに、IはADの中点、JはAEの中点、KはEFの中点です。
すると、切り取られる部分が立方体全体をちょうど半分にしていることが見抜けます。
立方体全体の体積は、次のようになります。
6 × 6 × 6 = 216
その半分は、次のようになります。
216 × 1/2 = 108
つまり、まず残る側の大きな部分の体積は108cm3です。
ステップ3: 残った三角錐3つを引く
半分にしただけでは、まだ求めたい六角錐よりも余分な部分が残っています。
動画では、この余分な部分を同じ大きさの三角錐3つとして引いています。
三角錐1つの底面は、縦3cm、横3cmの直角三角形です。
底面積は、次のようになります。
3 × 3 × 1/2 = 9/2
ここで注意したいのは、三角錐の高さです。
中点が出てくるので高さを3cmにしたくなりますが、動画で確認した通り、高さは立方体の奥行きいっぱいの6cmです。
三角錐1つの体積は、次のようになります。
9/2 × 6 × 1/3 = 9
同じ三角錐が3つあるので、引く体積は次のようになります。
9 × 3 = 27
ステップ4: 最後に引き算する
半分にした立方体の体積108cm3から、三角錐3つ分の27cm3を引きます。
108 − 27 = 81
答えは81cm3
六角錐の底面積を直接出さなくても、立方体の見方を変えることで体積を求めることができます。
よくあるミス・つまずきポイント
高さを3cmにしてしまう
中点がたくさん出てくるため、三角錐の高さも3cmだと思ってしまいやすいです。
しかし、今回引く三角錐の高さは、立方体の奥行きにあたるので6cmです。
どの線が底面に垂直な高さなのかを、計算前に必ず確認しましょう。
引く部分の数を間違える
半分を引いたあとに、さらに同じ三角錐を3つ引く流れです。
三角錐1つ分だけで計算を終えると、答えが大きくずれてしまいます。
まとめ
- 斜めの六角形の底面積を直接求めるのは大変です。
- 立方体を別の向きから見て、まず全体の半分を考えます。
- 残った余分な三角錐3つを引くと、六角錐の体積が求められます。
- 六角錐の体積は81cm3です。
動画では実際に手を動かしながら解説しています。
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この問題は、こちらの動画で実際に手を動かしながら解説しています。
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