平方根をふくむ分数で、整数部分や小数部分を求める問題は、どこから手をつけるか迷いやすいです。
この記事では、2/(√6−2) を有理化して、AとBの値、さらに式の値まで求める流れがわかります。
先に動画で確認したい方はこちらからどうぞ。
今回の問題
次の問題を解きます。
2/(√6−2) の整数部分を A、小数部分を B とするとき、次の値を求めなさい。
- AとBの値
- A² + AB の値
- A² + 4AB + 4B² の値
ポイントは、まず分母を有理化して、数の大きさを考えやすい形に直すことです。
解き方（ステップ解説）
ステップ1: 分母を有理化する
はじめの式 2/(√6−2) は、分母に平方根があるので、そのままだと大きさを考えにくいです。
そこで、分母と分子に √6 + 2 をかけます。
2/(√6−2) = 2(√6+2)/{(√6−2)(√6+2)}
分母は、(√6)² − 2² になります。
(√6−2)(√6+2) = 6 − 4 = 2
分子は、2(√6+2) です。
2(√6+2)/2 = √6 + 2
2/(√6−2) = √6 + 2
ステップ2: 整数部分Aを求める
次に、√6 + 2 の整数部分を考えます。
√6 は、√4 と √9 の間にあります。
√4 = 2、√9 = 3 なので、√6 は 2 と 3 の間です。
そこに 2 を足すと、√6 + 2 は 4 と 5 の間になります。
したがって、整数部分は 4 です。
A = 4
ステップ3: 小数部分Bを求める
小数部分は、もとの数から整数部分を引いて求めます。
たとえば 1.1 の小数部分は、1.1 − 1 = 0.1 と考えます。
今回のもとの数は √6 + 2 で、整数部分は 4 です。
B = (√6 + 2) − 4
B = √6 − 2
B = √6 − 2
ステップ4: 式の値を求める
まず、A² + AB を求めます。
A² + AB は、Aでくくることができます。
A² + AB = A(A + B)
A = 4、B = √6 − 2 なので、A + B = 4 + √6 − 2 = √6 + 2 です。
A(A + B) = 4(√6 + 2)
4(√6 + 2) = 4√6 + 8
A² + AB = 8 + 4√6
次に、A² + 4AB + 4B² を求めます。
この式は、ばらばらに代入するより、先に因数分解すると楽です。
A² + 4AB + 4B² = (A + 2B)²
A + 2B = 4 + 2(√6 − 2)
A + 2B = 4 + 2√6 − 4
A + 2B = 2√6
(A + 2B)² = (2√6)²
(2√6)² = 4 × 6 = 24
A² + 4AB + 4B² = 24
よくあるミス・つまずきポイント
有理化では、√6−2 に対して √6+2 をかけることを忘れないようにしましょう。
分母と分子の両方に同じものをかけるので、式の値は変わりません。
小数部分は、もとの数から整数部分を引いたものです。
√6 + 2 の整数部分が 4 だから、小数部分は (√6 + 2) − 4 = √6 − 2 になります。
また、A² + 4AB + 4B² をそのまま代入して計算すると、途中でミスが増えやすいです。
(A + 2B)² と因数分解してから代入すると、計算がかなり短くなります。
まとめ
- 2/(√6−2) は、有理化すると √6 + 2 になります。
- √6 は 2 と 3 の間なので、√6 + 2 の整数部分は 4 です。
- 小数部分は、もとの数から整数部分を引いて √6 − 2 です。
- A² + 4AB + 4B² は (A + 2B)² にして計算すると、答えは 24 です。
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