グラフから式を作るだけ！バスのすれ違い問題の解き方【中2数学一次関数】

先日、Lafの公式LINEに、こんな質問が届きました。

生徒

一次関数のバスの問題なんですけど…「交点を求めればいい」って解説には書いてあって、その通りにやったら答えは合いました。でも、なんで交点なのかがモヤモヤして気持ち悪いです。

おっしー

いい質問だね。それ、答えが合ってても放っておくとテストで応用が効かなくなるやつ。今日はそのモヤモヤを一緒に消していこう。「交点＝すれ違う瞬間」がなぜイコールなのか、ここが今日のいちばん大事なところだよ。

このモヤモヤ、実はすごく大切なサインです。「やり方は分かるけど、なんでそうなるのか分からない」まま進むと、少し問題の形が変わっただけで手が止まってしまうんですね。逆に、ここさえ腑に落ちれば、この手の問題は一気に得意分野になります。

今日はこの1問を題材に、一緒に「気持ち悪さゼロ」で解けるようにしていきましょう。

先に動画で確認したい方はこちらからどうぞ。

今日解く問題
いちばん大事な考え方：すれ違う＝「同じ時間に同じ場所」
ステップ1：バスAの式を作る
ステップ2：バスBの式を作る
ステップ3：連立方程式で交点を求める
答えの吟味：本当に合ってる？
よくあるつまずき
よくある質問（FAQ）
動画でも解説しています
まとめ
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今日解く問題

> 右のグラフは、A町とB町の間の同じ道を運行するバスの様子を表したものです。A町を9時に出発したバスとB町を9時10分に出発したバスがすれちがうのは、何時何分ですか。またそれはA町から何kmのところですか。

グラフを整理すると、こうなっています。

バスA（A町発・赤い線）：9時ちょうどに出発。原点 (0, 0) から出て、75分後に (75, 30)、つまりB町（30km地点）に到着します。
バスB（B町発・青い線）：9時10分に出発。(10, 30) から出て、60分後に (60, 0)、つまり10時ちょうどにA町（0km地点）に到着します。

横軸（x）は「9時からの経過時間（分）」、縦軸（y）は「A町からの距離（km）」です。まずはこの読み取りを、あわてず丁寧にやっておくのがコツですよ。

いちばん大事な考え方：すれ違う＝「同じ時間に同じ場所」

さて、冒頭の質問に戻ります。「なんで交点なの？」への答えです。

2台のバスがすれ違うというのは、同じ時刻に、同じ場所に、2台がいるということですよね。道ですれ違う瞬間を思い浮かべてください。窓の外にもう1台のバスが見えた、その瞬間——2台は「同じ時間（x）」に「同じ場所（y）」にいます。

グラフの世界では、

「時間が同じ」＝ x が同じ
「場所が同じ」＝ y が同じ

この「x も y も同じになる点」こそが、2本の直線が交わる点、つまり交点なんです。

おっしー

だから「交点を求める」んじゃなくて、「同じ時間・同じ場所になる瞬間」を探したら、それがたまたま交点だったという順番なんだよ。ここが逆さまだと、ずっとモヤモヤしたままになる。

この順番で理解できると、「なんで交点なの？」はもう出てきません。では、その交点を実際に求めにいきましょう。手順は3ステップです。

ステップ1：バスAの式を作る

バスAは原点 (0, 0) から出発しています。原点を通る直線なので、切片は0。式は `y = ax` の形です。

あとは傾き a を求めるだけ。傾きは「yの増加量 ÷ xの増加量」で出ます。バスAは (0, 0) から (75, 30) へ進むので、

傾き＝ 30 ÷ 75 ＝ 2/5

よって、バスAの式は次のようになります。

y = (2/5)x

ステップ2：バスBの式を作る

バスBは (10, 30) から (60, 0) へ、右下がりに進みます。同じように傾きを求めましょう。

傾き＝ (0 − 30) ÷ (60 − 10) ＝ −30 ÷ 50 ＝ −3/5

右下がりなので傾きがマイナスになります。これで式は `y = −(3/5)x + b` の形。あとは切片 b を求めます。通っている点 (60, 0) を代入しましょう。

0 ＝ −(3/5)×60 + b

0 ＝ −36 + b

b ＝ 36

よって、バスBの式は次のようになります。

y = −(3/5)x + 36

ステップ3：連立方程式で交点を求める

2本の式がそろいました。「同じ時間・同じ場所」＝ y が等しくなる瞬間を求めるので、2つの式の右辺をイコールで結びます。

(2/5)x ＝ −(3/5)x + 36

xを左側に集めましょう。右辺の −(3/5)x を左に移項します。

(2/5)x + (3/5)x ＝ 36

分母が同じ5なので、分子を足すだけ。2/5 + 3/5 ＝ 5/5 ＝ 1 です。

x ＝ 36

xが求まりました。これは「9時から36分後」という意味なので、すれ違う時刻は9時36分です。

次に、この x を式に代入して y（場所）を出します。代入するのはどちらの式でもOKですが、シンプルなバスAの式 `y = (2/5)x` を使いましょう。

y ＝ (2/5)×36 ＝ 72/5 ＝ 14.4

よって、A町から14.4km（72/5km）の地点です。

答え：9時36分に、A町から14.4kmのところですれ違う。

答えの吟味：本当に合ってる？

出た答えを、そのまま信じずにちょっと確かめてみましょう。この「検算のクセ」がある子は、テストでの取りこぼしがぐっと減ります。

x = 36 をもう一方の式（バスB）にも入れてみます。

y ＝ −(3/5)×36 + 36 ＝ −108/5 + 36 ＝ −21.6 + 36 ＝ 14.4

バスAで出した y も、バスBで出した y も、どちらも 14.4 で一致しました。ちゃんと「同じ時間（x=36）に、同じ場所（y=14.4）に、2台がいる」ことが確認できましたね。ここまでできれば安心です。

よくあるつまずき

同じ問題で、多くの子が引っかかるポイントを3つ挙げておきます。

x（時間）と y（距離）を取り違える — 「何時何分？」と聞かれたら答えるのは x、「何km？」と聞かれたら答えるのは y です。せっかく計算が合っていても、ここで逆に書くと不正解になってしまいます。
傾きの符号ミス — B町発のバスは右下がりなので、傾きは必ずマイナス。「増加量」という言葉につられてプラスで計算しないよう気をつけましょう。
答えの単位・書き方 — x=36 は「36分」ではなく「9時36分」。y=14.4 は「A町から14.4km」。問われている形に直して答えるところまでが1問です。

よくある質問（FAQ）

Q. 代入する式は、AとBのどっちを選べばいいですか？
A. どちらでも答えは同じになります。迷ったら、切片がなくて計算がラクな式（今回はバスAの `y = (2/5)x`）を選ぶのがおすすめです。最後に、選ばなかった方の式でも検算すると完璧です。

Q. 分数の計算が苦手で、そこで止まってしまいます。
A. まずは傾きを「yの増加量 ÷ xの増加量」で分数の形にするところまでを、機械的にできるように練習しましょう。今回のように分母がそろっていれば、あとは分子を足し引きするだけです。分数そのものが不安な人は、そこだけ先に埋めておくと、一次関数がぐっとラクになりますよ。

Q. グラフが無くて、条件が文章だけで書かれていたら？
A. やることは同じです。「出発した時刻・場所」と「到着した時刻・場所」を2点の座標として書き出せば、あとは今日と全く同じ3ステップで解けます。まずは文章から座標を拾う練習をしてみてください。