平方根の応用問題では、「√の中が何なら自然数になるのか」で手が止まりやすいです。
この記事では、a、bが1桁の自然数のとき、2つの平方根がどちらも1桁の自然数になる値を、総当たりで見つける方法がわかります。
先に動画で確認したい方はこちらからどうぞ。
今回の問題
a、bは1桁の自然数です。
√(10a + b) も1桁の自然数、√(10b + a + 1) も1桁の自然数になるとき、aとbの値を求めなさい。
自然数は1以上の整数なので、今回使える数は1、2、3、4、5、6、7、8、9です。
解き方（ステップ解説）
ステップ1: まず√(10a + b)を1〜9で考える
√(10a + b) が1桁の自然数なので、1から9のどれかになります。
√(10a + b) = n とおくと、両辺を2乗して考えられます。
10a + b = n²
平方根が自然数になるには、√の中が平方数になっている必要があります。
aとbは1から9なので、10a + b は「十の位がa、一の位がb」の2桁の数です。
そのため、n = 1、2、3 のときは、1² = 1、2² = 4、3² = 9 となり、10a + b にはできません。
ステップ2: √(10a + b)から候補を出す
n = 4 のとき、10a + b = 4² = 16 なので、a = 1、b = 6 です。
n = 5 のとき、10a + b = 5² = 25 なので、a = 2、b = 5 です。
n = 6 のとき、10a + b = 6² = 36 なので、a = 3、b = 6 です。
n = 7 のとき、10a + b = 7² = 49 なので、a = 4、b = 9 です。
n = 8 のとき、10a + b = 8² = 64 なので、a = 6、b = 4 です。
n = 9 のとき、10a + b = 9² = 81 なので、a = 8、b = 1 です。
ここまでで、候補は (a, b) = (1, 6)、(2, 5)、(3, 6)、(4, 9)、(6, 4)、(8, 1) になりました。
ステップ3: もう1つの条件に代入する
次に、√(10b + a + 1) も1桁の自然数になるかを確かめます。
(a, b) = (1, 6) のとき、√(10b + a + 1) = √(60 + 1 + 1) = √62 なので自然数ではありません。
(a, b) = (2, 5) のとき、√(10b + a + 1) = √(50 + 2 + 1) = √53 なので自然数ではありません。
(a, b) = (3, 6) のとき、√(10b + a + 1) = √(60 + 3 + 1) = √64 です。
√64 = 8 なので、1桁の自然数になります。
(a, b) = (4, 9) のとき、√(90 + 4 + 1) = √95 なので自然数ではありません。
(a, b) = (6, 4) のとき、√(40 + 6 + 1) = √47 なので自然数ではありません。
(a, b) = (8, 1) のとき、√(10 + 8 + 1) = √19 なので自然数ではありません。
答えは a = 3、b = 6
よくあるミス・つまずきポイント
0を自然数に入れてしまうミスに注意しましょう。
この問題では自然数は1以上の整数なので、aやbに0は入りません。
√の中が整数ならよいと考えてしまうのも間違いです。
たとえば√62や√53は、√の中は整数ですが、答えが自然数にはなりません。
2つの条件のうち、片方だけを満たしても答えにはならないことが大事です。
まとめ
- 1桁の自然数は1から9で、0は含みません。
- √が自然数になるには、√の中が1、4、9、16、25、36、49、64、81のような平方数になります。
- まず√(10a + b)から候補を出し、次に√(10b + a + 1)へ代入して確認します。
- 今回の答えは a = 3、b = 6です。
動画では実際に手を動かしながら解説しています。
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