方程式がわからない中学生へ｜苦手の正体は「＝」の意味の勘違いです1 min read

先に動画で確認したい方はこちらからどうぞ。

 

方程式が苦手な理由の結論｜数学のセンスではなく「＝」の勘違いです

「中1の息子が方程式でつまずいています。どうしたらいいですか」というご相談をいただきました。同じ状態のお子さんは毎年たくさんいます。文字式まではちゃんとついていけていたのに、方程式の単元に入ったところで急に手が止まる。これは、本人の頑張りが足りないから起きているわけではありません。

先に結論をお伝えします。

方程式が苦手なのは、数学のセンスの問題ではありません。小学校からずっと使ってきた「＝」の意味を取り違えているだけです。

そしてもう1つ。学校で習った「移項したら符号が変わる」というルール。あれがなぜそうなるのかを説明できないまま進んでいることが、方程式でつまずく大きな理由になっています。

この記事では、次の順番でお話しします。

1. 方程式でつまずく理由（「＝」の意味が変わる話）
2. 方程式が苦手な3タイプ診断
3. やってはいけない3つの勉強法
4. 方程式を解く5つのステップ
5. 移項すると符号が変わるのはなぜか
6. 検算のやり方
7. 学年別の方程式と、おうちの方への声かけ

自分がどこでつまずいているかが分かると、次にやることが1つに決まります。まずはそこまで一緒に進みましょう。

 

方程式でつまずく理由｜「＝」は答えの合図から天秤に変わります

なぜ方程式でつまずいてしまうのか。原因は、この「＝」というたった1つの記号にあります。

小学校までの「＝」は、答えを書くときのサインでした。イメージでいうと電卓です。「3＋5」と入力して「＝」をポンと押したら、答えの8が出てくる。みなさんのスマートフォンにも電卓が入っていると思いますが、あの感覚です。小学校の6年間、ずっとその使い方をしてきました。

ところが中学校の方程式では、「＝」の見え方が変わります。「＝」があると、そこには左辺と右辺が生まれます。左側と右側です。そして「＝」は、その左と右の値が同じであることをつなぐ記号になります。

小学校の「＝」は押したら答えが出るボタン、中学の「＝」は天秤です。

左の量と右の量が同じ量だよ、と支えているのが「＝」なんですね。記号の意味そのものが変わったわけではありません。変わったのは印象です。ただ、この印象の切り替わりに気づかないまま方程式に入ると、式の書き方も、移項の意味も、全部あいまいなまま進むことになります。

ここが、つまずきポイントの1つ目です。まずは「方程式の＝は天秤なんだ」というところを、しっかり理解しておいてください。ここが入っていると、このあとの5ステップが全部つながります。

 

方程式が苦手な3タイプ診断｜戻り先が全部ちがいます

「方程式が苦手です」と一括りにしている間は、対策が決まりません。まずは自分がどのタイプかを見てください。

 

タイプ① 「＝」の意味を取り違えている（Aの人）

さきほどの天秤の話が入っていないタイプです。見分け方は、ノートの「＝」の位置です。

中学1年生でマジで多いのが、イコールの位置がめちゃめちゃになっているパターン。左に全部そろえていたり、ぐにゃぐにゃになっていたり。ひどいときは1行に「＝」が2つ並んでいます。

これは文字式の計算のクセが残っているんですね。文字式のときは左にそろえて下に書く。方程式のときは真ん中で「＝」をそろえる。ここが変わるので混乱します。1つの式にイコールは1つ、そして真ん中でそろえる。それだけで、読める式になります。

戻り先は小学校の算数です。「＝」は答えの合図ではない、というところをやり直してください。

 

タイプ② 移項で符号をミスしてしまう（Bの人）

手順は覚えているのに、マイナスが出てくると合わなくなるタイプです。原因は方程式ではなく、その手前の中1の正負の数にあります。

このタイプの人は、後半の「移項すると符号が変わるのはなぜか」を先に読んでください。仕組みが分かると、符号を思い出す作業がいらなくなります。

 

タイプ③ 分数と小数で崩れる（Cの人）

これは中1だけの話ではありません。中2でも中3でも、小学校3年生あたりの分数と小数の計算でつまずいたまま来ている人がかなりいます。

公式は覚えているし、やり方も分かる。なのに式の中に分数と小数が出てきた瞬間、時間がかかったり計算ミスをしたりで、結局バツをもらってしまう。心当たりがある人は、小学校の内容まで戻ってから今の勉強に帰ってきてください。

3つとも、戻り先が方程式ではありません。方程式の問題をたくさん解いても、この3つは直らないんです。手前が抜けているので。

体調が悪くて病院に行って、「体調不良です」とだけ言っても、お医者さんは薬を出せませんよね。「方程式が苦手です」も同じです。どのタイプかまで分けて、はじめて手が打てます。

 

方程式のやってはいけない3つの勉強法

診断ができたら、次はやらないことを決めます。この3つは、直すだけで結果が変わりやすいところです。

 

① 移項を暗算でやる

一番もったいないパターンです。速く解けている感じはするんですが、あとで見直しができません。

暗算は、実は遠回りです。楽をするために途中式を書く。そう考えてください。途中式をめんどくさがらないようにしていきましょう。

 

② いきなり文章問題から始める

これもよくあります。というより、いきなりでなくても、文章問題を始めるのはちょっと待ってください。

計算問題が満点を取れるくらいまで仕上がってから、文章問題に入る。この順番です。計算問題でつまずいているのに文章問題をやっても、解けるようにはなりません。焦らずに基礎を固めるほうが、結局は近道になります。

ここでいう「解ける」は、ただ解けるという意味ではありません。満点で、しかもスピードが速い状態です。計算スピードを上げるには百マス計算がおすすめです。0から9が縦と横に並んでいて、その掛け算をしていくだけのシートですが、これは時間を測ってやってください。最初は2分から3分の人が多く、算数が苦手だなという人は5分ほどかかります。速い子は1分30秒を切ります。5分の人と1分30秒の人では、普段の勉強スピードが全然違ってきますよね。まずは2分を切ることを目標にしてみてください。

 

③ 間違えた式を消しゴムで消す

消しゴムは使わなくていいです。斜線を1本引いて、下に書き直してください。

消してしまうと、どこのプロセスで間違えたのかが、丸つけのときに分からなくなります。間違えた式は、自分がどこでつまずいたかを教えてくれる証拠です。消しゴムを使うのは、答えを書き間違えたときくらいで十分です。

 

方程式を解く5つのステップ

ここからが記事の心臓部です。やることは5つだけです。

 

ステップ① 途中式は1行に1操作

まず、途中式は1行で1操作ずつ進めてください。慣れてきたら2操作3操作とまとめてもいいのですが、方程式の計算で満点が取れるようになるまでは、答えを書くまでの途中式を必ず作っていきましょう。次の行に移ったら、また1操作だけ。これを繰り返します。

2015年から家庭教師をしてきて、ずっと感じていることがあります。数学の点数が高い人ほど、途中式を丁寧に書いています。数学の点数が低い人ほど、途中式を書きません。一気に答えをドンと書くんですね。君は天才か、となります。

途中式を書かないということは、全部を頭の中で暗算しているということです。それ、めちゃくちゃ大変じゃないですか。おっしー先生も計算ミスをします。天才じゃないので。

なぜ書かない人がいるかというと、めんどくさいからですよね。気持ちはすごく分かります。勉強時間を短くしたいから途中式を省く。でも、これは逆なんです。むしろ大変なことをやってしまっています。

途中式を書くのは、頭の中で考えるのをサボるためです。紙の上で操作していけば、頭の中で覚えておく量が減ります。遠回りに見えて、そっちのほうが近道です。

 

ステップ② 文字は左、数字は右に寄せる

左辺に文字を、右辺に数字を集めます。左辺から右辺へ、右辺から左辺へ値を動かすときに使うのが移項です。「左に文字、右に数字」と向きを固定しておくと、毎回どっちに寄せようかと考えなくて済みます。

 

ステップ③ 移項のルールを、理由から理解する

移項のルールは、やり方として覚えておいて大丈夫です。ただ、なぜそうなるのかを理解していないと、ここがつまずきポイントになります。この話は長くなるので、次の見出しでじっくり説明します。

 

ステップ④ 分数と小数は、先に整数にしてしまう

0.6や0.8や1.2のような小数が出てきたら、左辺も右辺も先に10倍または100倍して、整数にしてから整理します。小数を見た瞬間にアレルギー反応が出る人はめちゃくちゃ多いです。おっしー先生も中学時代は嫌でした。でも先に10倍してしまえば、全部が整数の問題になります。

分数も同じです。3分の2や5分の1が出てきたら、分母の最小公倍数を両辺にかけて、分母を全部払ってしまう。そのうえで整数の式にしてから解きます。このステップ④は結構重要なので、覚えておいてください。

 

ステップ⑤ 出た答えを、元の式に入れて確かめる

検算です。これが一番おいしい話なので、あとの見出しで詳しく説明します。

 

移項すると符号が変わるのはなぜか｜両辺から同じ数を引いているだけです

移項とは、項を移動することです。左辺から右辺へ、右辺から左辺へ動かすので「移項」といいます。このとき「移項すると符号が変わるよ」と教わったと思います。

では、なぜ変わるのでしょうか。お父さんお母さんも、お子さんから「移項すると符号が変わるのはなんで?」と聞かれて、答えられるでしょうか。

実際に見ていきます。

x + 3 = 10

この方程式を「3を移項してマイナス3にするから x = 10 – 3」と解くよ、と習ったと思います。このルールを使うこと自体は、まったく問題ありません。ただ、ここで何が起きているかというと、左辺も右辺も、どちらもマイナス3をしているだけなんです。

x + 3 – 3 = 10 – 3

左辺は「+3 – 3」で0になるので、xだけが残ります。右辺は「10 – 3」で7です。

x = 7

結果を見ると、左辺の+3が消えて、右辺に-3が現れています。だから「+3が移項してマイナス3になった」というイメージに見えるわけですね。

符号が変わっているのではなく、両辺から同じ数を引いているだけです。

 

そもそも、なぜ移項というルールがあるのか｜公式はショートカットです

ここでもう一歩だけ踏み込みます。ルールや公式を覚えるのは、なぜだと思いますか。答えは、めんどくさいからです。

理系のテクノロジーの発展って、実はめんどくさがりだから進んでいるんですよ。歩くのがめんどくさいから馬車が生まれる。馬を育てるのが大変だから自転車が生まれる。手紙を書いて届けるのがめんどくさいからメールが生まれて、アドレスを入力するのがめんどくさいからLINEが生まれています。

学校の数学で習う公式も同じです。人類の先人たちが、めんどくさいをショートカットできる方法を編み出してくれたものが公式なんですね。

たとえば掛け算。5 × 9 = 45 だと分かりますよね。でも掛け算という発想がなかったら、5を9回足すことになります。それでは日が暮れてしまう。めんどくさいから、九九と掛け算が生まれたわけです。

移項も同じです。x + 3 = 10 のとき、左辺にはxだけを残したいので、+3を消したい。そのために両辺からマイナス3をする。でも毎回それを書くのはめんどくさい。だから「+3があったら、右辺に移動して-3に変えようね」というルールが生まれました。これが移項です。

だからルールを使うのは大歓迎です。公式やルールは先人が作ってくれたショートカットの道具なので、しっかり覚えて使いこなせるようになってください。

ただし、ルールだけを表面上で暗記してしまうと、「これ、なんでやらなきゃいけないんだっけ」となって、数学は何をやっているのか分からない、という状態になります。だからこそ、なぜ符号が変わるのかを自分の言葉で説明できるかどうかが大事です。

「両辺どちらにもマイナス3をしているから、結果として左辺は0になって、右辺にマイナス3が残る。だから移項すると符号が変わったように見える」。これが言えたら合格です。

これは他の教科でも同じです。英語の「なぜbe動詞が前に出ると疑問文になるのか」、理科の「雲ができるメカニズム」。テストでそのストーリーは聞かれないことが多いのですが、背景を知っておくと、覚えるべき文法や公式が入りやすくなります。

 

検算のやり方｜方程式は、自分で丸つけができる単元です

5つ目のステップ、検算です。ここが方程式のいちばんおいしいところです。

さきほどの x + 3 = 10 で、x = 7 だと分かったとします。そうしたら、もう一度元の問題文のxに、その答えを代入してみてください。

x + 3 のxに7を入れるので、7 + 3 になります。7 + 3 は10。右辺の10と一致しましたね。この時点で、「これは正解だ」と自信を持って言えるわけです。

方程式は、答え合わせをする前に、自分で丸つけができる単元です。

英語の長文や理科の問題では、これはできません。答え合わせをするまで、合っているかどうか分からないので、ちょっと心配なまま次に進むことになります。でも数学の方程式は、もう一度代入すれば、その場で確かめられます。

テスト本番は時間との勝負なので、まずは最後までブワーッと解いていきましょう。そして時間が余るようにして、余ったら代入して検算する。満点を目指したい人は、ここまでできるようになっていきましょう。テストで見直す時間ができたとき、最初に見直す場所はここです。

追加したら「方程式」と漢字3文字で、スペースを入れずにそのまま送ってください。

公式LINEは友だちが2万人を超えていて、メッセージがどうしても流れてしまいます。キーワードを送っていただくと自動でお届けできるので、そちらでお願いします。

 

学年別｜中1・中2・中3で出てくる方程式

方程式は中1で終わりではありません。学年が上がるたびに形を変えて出てきます。だからこそ、中1のうちに「＝は天秤」と「移項は両辺から引いている」の2つを入れておく価値があります。

中2の連立方程式でつまずいている場合、多くは連立の解き方そのものではなく、中1の移項でつまずいています。中3の二次方程式も同じで、解の公式の前に、式を整理する段階で止まっていることがよくあります。

数学は積み上げ式の教科です。レゴブロックと同じで、1つ1つの接続の仕方が分かっていないと、大きいものは作れません。今の学年でつまずいたら、前の学年に戻る。これは後退ではなく近道です。

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方程式の文章題はいつから手をつけるか

「計算はできるけど文章題ができません」という相談もよくいただきます。ここも順番の話です。

文章題は、計算が固まってからです。

文章題は、日本語を数学の式に翻訳する問題です。翻訳の練習は、翻訳したあとの計算がスムーズにできる状態になってから始めてください。計算でつまずいたまま文章題に入ると、「式は立てられたのに計算で落とす」「計算に気を取られて式を間違える」と、両方が中途半端になります。

目安は、教科書やワークの計算問題を、満点かつスピーディーに解ける状態です。そこまで来たら文章題に入って大丈夫です。

文章題の解き方そのものについては、別の記事で5ステップにまとめています。

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FAQ｜方程式のよくある質問

移項と等式の性質は、何がちがうんですか?
やっていることは同じです。等式の性質（両辺に同じ数を足したり引いたり掛けたり割ったりしても等式は成り立つ）が土台にあって、それを毎回書くのはめんどくさいので、短く済ませる書き方として移項があります。土台が等式の性質、ショートカットが移項、という関係です。

解が分数になったら、どこかで間違えていますか?
いいえ、方程式の解は分数になることもあります。心配なときは検算をしてください。代入して左辺と右辺が同じ数になれば、それが答えです。答えの見た目で判断しなくて大丈夫です。

移項するとき、符号を変え忘れてしまいます
「符号を変える」と唱えているうちは、どっちだったかを毎回思い出すことになります。心の中で「両辺から引く」と言い換えてみてください。引き算をしているだけだと分かっていれば、思い出す作業がいらなくなります。それでもミスが続く場合は、正負の数まで戻ったほうが早いです。

分数の計算が苦手なまま方程式に入ってしまいました
先に分数の計算に戻ってください。中2でも中3でも同じです。夏休みなど、学校の授業が止まっている期間は、前の学年に戻るチャンスになります。

 

おうちの方へ｜「なんで符号が変わるの?」と聞かれたら

最後に、保護者の方にワンポイントだけお伝えします。

今日いちばん持って帰っていただきたいのは、ここです。お子さんに「なんで移項したら符号が変わるの?」と聞かれて、答えに詰まったことはありませんか。

答えられなくて当たり前だと思います。学校では移項をルールとして教わりますし、大人になってから理由を説明する機会もありません。

もし聞かれたら、この一言を返してあげてください。

「符号が変わってるんじゃなくて、両辺からマイナス3をしてるからだよ」

そのあとに「結果的に左側の+3が消えるでしょ。消えたから、3が移項してマイナス3になったように見えてるだけなんだよ」と続けられれば十分です。全部を教えてあげる必要はありません。この一言があれば、お子さんは自分で続きを考えられます。

もう1つ、声かけについて。

NG「符号くらい気をつけなさい」「またケアレスミス?」

符号のミスは、注意力の問題ではないことがほとんどです。正負の数がまだ固まっていないサインなので、気をつけろと言われて直るものではありません。

OK「これ、左と右って同じ数になってる?」

答えが合っているかではなく、式の意味を聞く質問です。ここに戻れる子は、自分でミスを見つけられるようになっていきます。教える係ではなく、聞く係に回る。それだけで、次にやることが親子で同じ絵になります。

説明するのが難しいなと感じる場合は、Lafの無料授業も使ってみてください。

一次関数が苦手な中学生へ｜つまずきの正体は中1の「比例」です

一次関数が苦手な中学生へ。公式は覚えているのにグラフも交点も文章問題も解けないのは、一次関数ではなく中1の「比例」でつまずいているからです。一次関数は比例にスタート地点がついただけ。苦手になる3つの原因と、今日からできる正しい勉強の5ステップをおっしー塾長が解説します。

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まとめ

方程式は、中1にとっては初めて見る世界です。小1から中1の文字式まで、ずっと同じ感覚で使ってきた「＝」の扱いが急に変わるので、難しく感じて当然なんですね。逆に言えば、「＝」の意味と移項の理由が入れば、方程式の景色は変わります。

学校の授業が止まっている時期は、前の学年に戻る絶好のタイミングです。1日1時間でもいいので、分数と小数の計算と、正負の数の復習をしておくと、次の単元がぐっと楽になります。方程式のあとにはグラフの単元（比例と反比例）が控えていますし、学年が上がるほど数学の難易度は上がっていきます。基礎固めは早いほど楽です。

追加したら「方程式」と漢字3文字で送ってください。

毎朝7時15分から、インスタグラムでライブ配信をしています。勉強の相談がある方は、コメントやDMでお気軽にどうぞ。

 

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