立方体を3つの点を通る平面で切る問題は、3点を結ぶだけでよいと思ってしまいやすい単元です。
この記事では、動画で扱った立方体の断面図について、なぜ三角形ではなく正六角形になるのかを整理します。
この記事でわかることは、各面ごとに切り口の線を見つける考え方です。
先に動画で確認したい方はこちらからどうぞ。
今回の問題
立方体を、図にある3つの黒丸を通る平面で切ります。
黒丸は、立方体の辺や面の上にあり、そのうち1つはGHの中点、もう1つはGCの中点として考えられる位置にあります。
このとき、できる切り口を立方体の図に書き込み、切り口の形をできるだけ正確な名前で答えなさい。
この問題では、3つの黒丸をただ結んで三角形にするのではなく、平面が立方体の面とどこで交わるかを考えます。
解き方（ステップ解説）
ステップ1: まず確実に通る線を引く
断面は、平面が立方体を切ったときにできる切り口です。
そのため、切り口の端は立方体の面の上、特に辺の上に出てきます。
まず、3つの黒丸のうち、同じ面の上にある点どうしを見つけます。
動画では、奥の縦に立っている面で通る線がはっきりわかるので、そこを点線で結びました。
次に、上面ではどこを通るのかも確認します。
断面図は、立方体の中だけを想像するのではなく、各面の上にできる線を1本ずつ探すのがポイントです。
ステップ2: 見る向きを変えて考える
正面から見たままだと、奥の面や手前の面で切り口がどこに出るのかがわかりにくくなります。
そこで動画では、GHの方向から見るように図を書き換えて考えました。
GHの方向から見ると、真ん中にGHのラインが見えます。
右側にはCBやCDのある面、左側にはEFのある面がくるように整理できます。
このように見方を変えると、黒丸がどの位置にあるのかを図に入れ直しやすくなります。
GHの中点にある黒丸は、書き換えた図でもGHの真ん中に点を取ります。
GCの中点にある黒丸も、同じように真ん中の位置として考えます。
ステップ3: 平面は延長できると考える
切っているものは線ではなく平面です。
平面はそのまま広がっていると考えられるので、見えている線を延長して、別の面ではどこに出るかを探します。
動画では、黒丸を通るラインをそのまま延長して考えました。
すると、片方で中点から中点へ進んでいるので、反対側でも同じように中点を通ると考えられます。
その結果、FHの中点に対応する位置にも切り口が出ることがわかります。
同じ平面で切っているので、見えている線の延長上にも切り口の手がかりがあります。
ステップ4: 対称性を使って頂点を結ぶ
ここまでで、もとの3つの点だけでなく、ほかの辺の中点にも切り口の頂点ができることが見えてきます。
立方体の形と切る平面の位置を考えると、左右対称になるように切り口が続きます。
見つけた点を順番に結ぶと、切り口は6つの辺をもつ形になります。
さらに、各辺の長さや角度がそろう形になるので、ただの六角形ではありません。
答えは正六角形
よくあるミス・つまずきポイント
3つの点を結んで三角形にしてしまう
いちばん多いミスは、黒丸が3つあるから三角形だと考えてしまうことです。
しかし、3点は平面を決めるための点であって、切り口の頂点が3つだけとは限りません。
立方体を切る平面は、ほかの面や辺にもぶつかるので、切り口の頂点が増えることがあります。
同じ向きの図だけで考えようとする
空間図形は、頭の中だけで立体を回そうとするとかなり難しくなります。
今回のように、GHの方向から見るなど、見方を変えて図を書き直すことが大切です。
豆腐のような立方体を実際に切るイメージも役立ちますが、テストでは図を書き換える練習が必要です。
まとめ
- 3つの点を結ぶだけでは、立方体の断面図とは限りません。
- 切り口は、立方体の各面の上でどの線を通るかを考えます。
- GH方向から見るなど、見方を変えると位置関係がわかりやすくなります。
- 今回の切り口の形は、正六角形です。
動画では実際に手を動かしながら解説しています。
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この問題は、こちらの動画で実際に手を動かしながら解説しています。
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