先に動画で確認したい方はこちらからどうぞ。
今日の問題
右の図のように、2点A(0, 6)、B(8, 0)を通る直線ABがあります。
また、Pは線分AB上の点であり、Qは、Pからx軸にひいた垂線とx軸との交点です。
- 直線ABの式を求めなさい。
- 線分PQの長さが4になるとき、Pのx座標を求めなさい。
- 線分OQの長さと線分PQの長さの和が$\dfrac{13}{2}$になるとき、Qのx座標を求めなさい。
今回の記事では、特につまずきやすい(3)を中心に解説します。
核となる考え方：「聞かれているものを文字でおく」
(3)で聞かれているのは「Qのx座標」です。数学の文章題全般に共通するコツは、聞かれているものを文字でおいてしまうことです。
Qのx座標を $m$ とおくと、Qはx軸上の点なので座標は $(m, 0)$ と表せます。
3ステップで解く
ステップ1：Pの座標をmで表す
Pは直線AB上の点で、x座標はQと同じ $m$ です（PQはx軸に垂直な線分なので、PとQのx座標は一致します）。
(1)で求めた直線ABの式 $y = -\dfrac{3}{4}x + 6$ に $x = m$ を代入すると、
$$y = -\dfrac{3}{4}m + 6$$
これがPのy座標であり、同時にPQの長さでもあります（QはPからx軸に下ろした点なので、PQの長さ＝Pのy座標）。
ステップ2：条件式を立てる
OQの長さは、O(0, 0)からQ(m, 0)までの距離なので $m$ です。
問題の条件「OQ + PQ = $\dfrac{13}{2}$」に、それぞれを代入すると、
$$m + \left(-\dfrac{3}{4}m + 6\right) = \dfrac{13}{2}$$
ステップ3：一次方程式を解く
$$\dfrac{1}{4}m + 6 = \dfrac{13}{2}$$
$$\dfrac{1}{4}m = \dfrac{13}{2} – 6 = \dfrac{1}{2}$$
$$m = 2$$
よって、Qのx座標は2です。
検算：答えの吟味
$m = 2$ のとき、
- OQ = 2
- PQ = $-\dfrac{3}{4} \times 2 + 6 = 4.5$
- OQ + PQ = $2 + 4.5 = 6.5 = \dfrac{13}{2}$ ✓
条件を満たしていることが確認できました。
よくあるつまずき
今回LINEで質問をくれた生徒も最初につまずいたのが、(2)で使ったPQ=4という数字を、(3)でもそのまま使おうとしてしまったことでした。
しかし(2)と(3)は別の条件の問題です。(3)ではPは直線AB上のどこにあるか分からない状態からスタートするので、PQの長さも固定されていません。小問が変わったら、点の位置も一度リセットして考えることが大切です。
FAQ
Q. なぜPとQのx座標が同じなのですか？
A. QはPからx軸に垂線（x軸に垂直な線）を引いた交点だからです。垂直な線はx座標を変えずにy座標だけ変化させるので、PとQのx座標は常に一致します。
Q. PQの長さがなぜ「Pのy座標」になるのですか？
A. QはPの真下（x軸上）にあるので、PQの長さは2点のy座標の差になります。Qのy座標は0なので、PQの長さ＝Pのy座標そのものになります。
一次関数と図形が組み合わさった問題は、「聞かれているものを文字でおく」という一点さえ徹底できれば、あとは方程式を解くだけの作業になります。今回の動画では、実際にLINEで質問をくれた生徒とのやりとりを通して、この考え方を一緒に確認しています。
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