食塩水の問題、数字なら解けるんですけど、今回みたいに濃度が全部文字だと何をしていいか分からなくなります…
そこは数字のときとやることが1つも変わらないところなんだ。「食塩の量」を3つとも書き出す、それだけで式ができるよ。
先に動画で確認したい方はこちらからどうぞ。
今回の問題
次の問題を考えます。
濃度がx%の食塩水300gと、濃度がa%の食塩水400gを混ぜ合わせたところ、濃度がb%の食塩水になった。xをaとbを用いた式で表しなさい。
数字が300g・400gしか出てこない問題です。濃度が3つとも文字なので、手が止まりやすいタイプですが、やることは数字の問題とまったく同じです。
食塩水の方程式は2パターンしかない
食塩水の文章題で立てる式は、次の2つのどちらかです。
- 食塩の量で式を立てる
- 食塩水の量で式を立てる
今回は食塩水の量（300 + 400 = 700）はもう問題文に書かれていて、聞かれてもいません。だから食塩の量のほうで式を立てる、と決まります。
まず絵に描く
文章題は、読んだだけで式にしようとすると混乱します。ビーカーを3つ描いて、濃度と重さを書き込むところから始めてください。
- 1つ目：x% の食塩水が 300g
- 2つ目：a% の食塩水が 400g
- 3つ目：b% の食塩水が 700g（300 + 400 なので700gと分かります）
3つ目の700gは、今回の式には直接は使いませんが、「混ぜたあとがどれか」を目で見て決めるために描いておきます。
食塩の量 ＝ 食塩水の量 × 濃度
ここが今回の核です。食塩の量は、食塩水全体の量に濃度をかければ求まります。
濃度の%は「100分のいくつ」という意味です。たとえば200gの食塩水が5%なら、
200 × 5/100 ＝ 10
で、入っている食塩は10gです。5%というのは「100個に分けたうちの5個ぶん」という意味なので、全体にその割合をかける、というだけの話です。
3つのビーカーの食塩の量を出す
同じ計算を、3つのビーカーそれぞれでやります。
1つ目：300 × x/100 ＝ 3x（g）
2つ目：400 × a/100 ＝ 4a（g）
3つ目：700 × b/100 ＝ 7b（g）
100で約分するだけなので、文字が入っていても計算は変わりません。3x・4a・7b という、すっきりした形になりました。
方程式を立てる
1つ目と2つ目を混ぜたものが3つ目です。ということは、1つ目の食塩と2つ目の食塩を合わせた量が、3つ目の食塩の量と等しくなります。
3x ＋ 4a ＝ 7b
これが今回の方程式です。ここまでが中1で習う「方程式を立てる」の部分になります。
xについて解く
問題は「xをaとbを用いた式で表しなさい」なので、x ＝ の形にします。
まず4aを右辺へ移項します。
3x ＝ 7b − 4a
両辺を3でわります。
x ＝ (7b − 4a) ÷ 3
分数の形で書くと、
x ＝ 7b/3 − 4a/3
答え
x ＝ 7b/3 − 4a/3
検算してみる
文字のままだと合っているか不安なので、数字を入れて確かめます。仮に x ＝ 10、a ＝ 3 としてみます。
- 1つ目の食塩：300 × 10/100 ＝ 30g
- 2つ目の食塩：400 × 3/100 ＝ 12g
- 合わせて42gが、700gの食塩水に入っている → b ＝ 42 ÷ 700 × 100 ＝ 6
この a ＝ 3、b ＝ 6 を答えの式に入れると、
(7×6 − 4×3) ÷ 3 ＝ (42 − 12) ÷ 3 ＝ 30 ÷ 3 ＝ 10
最初に決めた x ＝ 10 に戻りました。式の形が合っていることが確認できます。
よくあるつまずき
- 濃度が文字になったとたんに「習っていない問題」だと思ってしまう（数字のときと手順は同じです）
- 食塩の量を出さずに、濃度どうしを足してしまう（x ＋ a ＝ b としてしまう型）
- 300 × x/100 の約分で、3x ではなく 30x としてしまう
- 3x ＋ 4a ＝ 7b まで作れたのに、xについて解くのを忘れて答えにしてしまう
FAQ
Q. 3つ目のビーカーの700gは、どこから出てきたのですか？
A. 300gと400gを混ぜているので、混ぜたあとの食塩水は 300 ＋ 400 ＝ 700g です。問題文には書かれていませんが、足し算で出せます。
Q. 濃度どうしを足して x ＋ a ＝ b としてはいけないのはなぜですか？
A. 濃度は「割合」で、量ではないからです。量が違うもの同士の割合は、そのまま足せません。足し算ができるのは食塩の量（g）や食塩水の量（g）のように、実際の重さになっているものだけです。
Q. 答えは (7b − 4a) ÷ 3 と 7b/3 − 4a/3 のどちらで書けばいいですか？
A. どちらでも同じ式です。学校のワークや答えの書き方に合わせてください。分数の形のほうが「aとbを用いた式」らしく見えます。
この問題のポイント
- 食塩水の式は「食塩の量」か「食塩水の量」の2パターンだけ
- 食塩の量 ＝ 食塩水の量 × 濃度（%は100分のいくつ）
- 3x ＋ 4a ＝ 7b を作って、xについて解くと x ＝ 7b/3 − 4a/3
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