一次関数と図形が組み合わさる「最短経路」の問題は、どこに補助点を置けばよいかで迷いやすいです。
この記事では、点をx軸について対称に移して、折れ線の長さを一直線として考える方法がわかります。
先に動画で確認したい方はこちらからどうぞ。
今回の問題
右の図のように、2点A(1, 2)、B(3, 1)があります。
x軸上に点Pをとるとき、AP + PBが最も小さくなるような点Pの座標を求めなさい。
ポイントは、AP + PBという折れ線を、まっすぐな線分として考えられる形に変えることです。
解き方（ステップ解説）
ステップ1: 点Bをx軸について対称に移す
まず、点B(3, 1)をx軸について対称な位置に移した点をB’とします。
x軸について対称なので、x座標はそのまま、y座標の符号だけが反対になります。
B'(3, -1)
点Pはx軸上にあるので、PBの長さとPB’の長さは同じです。
つまり、AP + PBは、AP + PB’として考えても同じ長さになります。
ステップ2: AP + PB’を一直線で考える
AP + PB’が最も短くなるのは、A、P、B’が一直線上に並ぶときです。
折れ線の最短は、対称な点を使って一直線に直すと考えやすくなります。
したがって、点Pは直線AB’とx軸が交わる点になります。
ここからは、A(1, 2)とB'(3, -1)を通る直線の式を求めます。
ステップ3: 直線AB’の式を求める
直線の式を y = ax + b とします。
まず、傾きを求めます。
xの増加量は、3 – 1 = 2 です。
yの増加量は、-1 – 2 = -3 です。
傾き = yの増加量 ÷ xの増加量
傾き = -3 ÷ 2 = -3/2
よって、直線の式は次の形になります。
y = -3/2x + b
この直線はA(1, 2)を通るので、x = 1、y = 2を代入します。
2 = -3/2 × 1 + b
2 = -3/2 + b
b = 2 + 3/2
b = 4/2 + 3/2
b = 7/2
したがって、直線AB’の式は次のようになります。
y = -3/2x + 7/2
ステップ4: x軸との交点を求める
点Pはx軸上の点なので、y座標は0です。
直線の式に y = 0 を代入します。
0 = -3/2x + 7/2
3/2x = 7/2
x = 7/2 × 2/3
x = 7/3
よって、点Pの座標は次の通りです。
P(7/3, 0)
よくあるミス・つまずきポイント
1つ目は、対称に移した点B’の座標をまちがえることです。
B(3, 1)をx軸について対称にすると、x座標は変わらず、y座標だけが -1 になります。
B’を(-3, 1)や(-3, -1)にしてしまうと、別の問題になってしまいます。
2つ目は、x軸との交点を求めるときに、x = 0を代入してしまうことです。
x軸上の点は、必ずy座標が0なので、代入するのは y = 0 です。
まとめ
- AP + PBの最短は、点Bをx軸について対称に移したB’を使って考えます。
- PB = PB’なので、AP + PBをAP + PB’に置きかえられます。
- 点Pは、A(1, 2)とB'(3, -1)を通る直線とx軸の交点です。
- 今回の答えは、P(7/3, 0)です。
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