【中2数学】一次関数の最短距離｜x軸とy軸を通る折れ線の求め方3 min read

一次関数の最短距離の問題には、x軸の上の点を1つだけ通るものと、x軸とy軸の両方を通るものがあります。今回あつかうのは後者です。点Pを出発してy軸にぶつかり、次にx軸にぶつかってから点Qへ行く。この折れ線がいちばん短くなるのは、y軸とx軸のどこを通るときかを考えます。

この記事は、授業で先生と生徒が一緒に解いた1問をもとにしています。先生は問題を読み終えると、まず難しさを認めてから、前に解いた問題のおさらいに入りました。

この記事では、点が1つのときと2つのときで何が変わるのかを確かめてから、2つの点を折り返し、折り返した点どうしを直線で結んで式を求め、y軸とx軸との交わり方から座標を出すところまで、授業と同じ順番で進めます。

先に動画で確認したい方はこちらからどうぞ。

 

今回の問題と、授業の始まり

今回いっしょに考えるのは、この問題です。

> 図のように、2点P(2, 3)、Q(3, 2)が与えられている。y軸上に点A、x軸上に点Bをとり、折れ線PABQの長さが最小となるようにするには、点A、Bをどこにとればよいか。

図は文章で説明しておきます。座標平面の右上、x座標もy座標も正の場所に、P(2, 3)とQ(3, 2)の2つの点があります。点Aはy軸の上、点Bはx軸の上のどこかにあり、P→A→B→Qの順に点線で結んだ折れ線がかかれています。PはQより左上、QはPより右下です。

先生は問題を読むとき、動きを言葉でなぞっていました。「でこれ一旦Pから出発して」「AにぶつかってBにぶつかってからQに」「行くって言った時の」「この距離が最小となるような」。つまり、Pから出て、まずy軸に、次にx軸に立ち寄ってからQに着く道のりです。その道のりの長さが最小になるときの、AとBの位置を答えます。

続けて先生は「なるほど最短距離になる問題ですねこれも」と言い、「これは難しいね」とひと言そえています。

何が難しいのかを先に整理しておくと、AもBも、どこにとるかはまだ決まっていません。y軸の上ならAはどこでもよく、x軸の上ならBはどこでもよいのです。2つの点を同時に動かしながら最小を探すのは、頭の中だけでは追いきれません。

そこで今回も、最短距離の問題で使ういつもの考え方を土台にします。点を軸について折り返して、曲がった道のりを1本のまっすぐな線に直すやり方です。ただし今回は、折り返し方に1つだけ工夫が要ります。その工夫が何なのかを、次の節で見ていきます。

 

つまずきの正体：経由する点が2つになると、折り返す点も2つ要る

おさらいのあと、先生は今回の問題のねらいをこうまとめています。「要は本質はPとQを直線で結べるような」「線対称の点を取るっていうだけなんですけれど」。そして生徒に「どうしたらいいと思う?」と問いかけました。

ここで先生が比べたのが、経由する点が1つの場合です。「これBだけだったら」「Qだけ線対称にすればよかったんだよね」。もしx軸の上の点Bだけを通ってPからQへ行くのなら、Qをx軸について折り返すだけで、PとQの間の道のりはまっすぐな線に直せます。点を1つ折り返せば、曲がり角も1つ消えるからです。

ところが今回は、道のりの曲がり角が2つあります。y軸の上のAと、x軸の上のBです。先生も「なんだけれど今回2点取らないといけないから」と続けています。

Qだけを折り返した場合を考えてみます。すると道のりはP→A→B→Q’になり、Bでの曲がり角は消えます。けれども、Aでの曲がり角は残ったままです。PからAへ行ってy軸で向きを変える部分が、まだまっすぐになっていません。

つまり、1つ折り返しただけでは足りないのです。経由する点が2つなら、折り返す点も2つ要る。今回の問題で手が止まりやすいのは、点が1つのときのやり方のまま、Qだけを折り返して先へ進もうとするところです。

では、どの点をどの軸で折り返せばいいのか。Qはx軸の上のBとつながっているので、x軸で折り返します。Pはy軸の上のAとつながっているので、y軸で折り返します。それぞれの点を、すぐとなりで立ち寄る軸について折り返す、という組み合わせです。授業の中で、この答えにたどり着くまでのやり取りを次の節で追います。

 

ステップ1・2：最短距離は直線のおさらいと、QとPの折り返し

 

ステップ1：最短距離は直線、を思い出す

先生がおさらいしたのは、前に解いた形の問題です。「グラフにあるやつでAがあってBがあって」「で点Pがあってみたいなやつがあって」「これさっきも解いたけれど」。2点AとBがあり、軸の上の点Pを通ってAからBへ行く道のりを最短にする問題です。

このときの解き方を、先生は「ここのB’逆側をとって」「ここの最短距離で結んであげるっていうのが解き方だよね」と説明しています。Bを軸について線対称に移した点B’をとると、PBとPB’の長さは等しくなります。だから道のりAP＋PBは、AP＋PB’に置きかえられます。あとはAからB’までを直線で結べば、それが最短です。

先生のまとめは「線対称でとって直線を結ぶ」「直線だと最短距離だからっていうのは」「もう何回もやってると思います」。そして「これを今回の問題にも生かすんです」と、今回の問題へつなげました。

x軸の上の点を1つだけ通る形の最短経路は、別の記事でくわしく解いています。点Bをx軸について対称に移し、直線AB’とx軸の交点から点Pを求める手順です。今回の問題の土台になる1問です。

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ステップ2：Qをx軸について、Pをy軸について折り返す

まずはいつもと同じ一手からです。先生は「これねまずいつも通りQを線対称とってみようか」と言い、Qをx軸について折り返した点Q’をとりました。

Q(3, 2)はx軸から上に2の場所にあります。先生は「ここが距離がy軸の座標2だから」「ここも2になって」と説明しています。x軸の下側にも同じ2だけとるので、Q’の座標は(3, −2)です。x座標はそのままで、y座標の符号だけが変わります。生徒も「ＯＫです」と返しています。

次がPです。先生は生徒にこう問いかけました。

先生は続けて「そうy軸に対して線対称とってやればいいんだこれ」。P(2, 3)をy軸について折り返すと、今度はy座標はそのままで、x座標の符号だけが変わります。P’の座標は(−2, 3)です。

先生はこの作業を「2段階で構えればいいんで」と言っています。1段目でQをx軸について、2段目でPをy軸について折り返す。Qはx軸、Pはy軸と、折り返す軸がちがうところが、今回の問題の大事な点です。

x軸やy軸についての対称移動は、一次関数の対称移動の記事でも図で整理しています。直線をx軸・y軸・原点について対称移動した式の求め方を解説しているので、折り返しの感覚をつかみ直したいときに読んでみてください。

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ステップ3：P’からQ’まで直線を引く

折り返した2つの点がそろったら、道のりの長さを書き換えます。

先生はまずAのほうから確かめました。「ここのAからPまでの距離と」「AからP’までの距離って一緒じゃね?」。生徒は「一緒ですね」と答えています。続けてBのほうも「BからQまでの距離と」「BからQ’の距離も一緒でしょ?」と確かめ、生徒は「はい」と返しました。

求めたいのは「PA＋AB＋BQの長さ」が最小になるときです。そこでPAをP’Aに、BQをBQ’に置きかえ、ABはそのまま残します。

PA＋AB＋BQ＝P’A＋AB＋BQ’

右側の道のりについて、先生は「そしたらP’からA行ってAからB行ってBからQ’に行くっていう距離の」「最短距離を求めるってことは」「ここからここまでの最短距離を求めればいいから」と続けています。

この道のりが最短になるのは、1本の直線になるときです。先生は「まっすぐ直線引いてあげると」「この距離を求めればいいんじゃないか?」と言い、「P’からQ’までの長さってことにならない?」とまとめました。P’・A・B・Q’が一直線に並んだときが最短です。

だから、AとBの場所も決まります。先生の言葉では「直線だから最短距離は」「だからここがAでここがBにならないといけないんだ」。直線P’Q’がy軸と交わる点がA、x軸と交わる点がBです。先生の「理解できた?」に、生徒は「理解できました」と答えています。

ここは授業では扱っていない補足です。PA＝P’Aになる理由です。PとP’はy軸をはさんで反対側にあり、線分PP’はy軸と垂直に交わって、その交点が線分PP’の真ん中になります。つまりy軸は線分PP’の垂直二等分線です。垂直二等分線の上の点は線分の両はしから等しい距離にあるので、AからPまでとP’までの距離は等しくなります。BQ＝BQ’も、x軸が線分QQ’の垂直二等分線だからです。

 

ステップ4・5：直線P’Q’の式を求めて、AとBの座標を出す

 

ステップ4：直線P’Q’の式を求める

先生が「ってことはこの直線の方程式はどうやって求めればいい?」と聞くと、生徒は「y＝ax＋bに」「2個入れて連立して」と答えました。先生も「そうですね」と受け、「2点の座標を入れて連立方程式でもいいし」「傾きを求めるでもいいよね」と、どちらのやり方でもよいと伝えています。授業では、傾きを先に求めるやり方で進めました。

P'(−2, 3)からQ'(3, −2)へ進むとき、xは−2から3まで増えます。先生は「−2から3までいってるから」「xの増加量は＋5ですと」。yは3から−2まで変わるので、yの増加量は−5です。

xの増加量＝3−(−2)＝5

yの増加量＝−2−3＝−5

傾きは、xの増加量分のyの増加量です。

傾き＝−5÷5＝−1

先生も「5分の−5で傾きは−1ってなるね」「だからy＝−x＋bとなります」と進めています。

次に、bを求めます。先生は「ここにじゃあQ’の座標を代入してあげると」と、Q'(3, −2)を式に入れました。yが−2、xが3なので、

−2＝−3＋b

b＝1

直線P’Q’の式は、次のようになります。

y＝−x＋1

 

ステップ5：y軸との交点がA、x軸との交点がB

Aはy軸の上にあるので、x座標は0です。直線とy軸の交点のy座標は、式の切片そのものです。先生は「ってことはこの切片bが1だから」と言い、Aの座標を(0, 1)と出しました。先生の「合ってるかな」に、生徒は「はい、合ってます」と答えています。

Bはx軸の上にあるので、y座標は0です。先生は「ここにyの座標が0の時を考えるから」と、y＝−x＋1にy＝0を代入しました。

0＝−x＋1

x＝1

Bの座標は(1, 0)です。先生の「合ってるでしょうか」に、生徒は「合ってます」と返しています。Aは切片で読み、Bはy＝0を代入して求める。

 

答えと検算

ここまでの結果をまとめます。

答え：点Aを(0, 1)、点Bを(1, 0)にとる

折れ線PABQの長さが最小になるのは、y軸の上のA(0, 1)と、x軸の上のB(1, 0)を通るときです。

答えが正しいかを、折り返した点からもう一度確かめておきます。最短になるのは、P’・A・B・Q’の4つの点が一直線に並ぶときでした。そこで、となり合う点どうしの傾きがすべて同じかを見ます。

P'(−2, 3)からA(0, 1)：xは＋2、yは−2なので傾きは−1

A(0, 1)からB(1, 0)：xは＋1、yは−1なので傾きは−1

B(1, 0)からQ'(3, −2)：xは＋2、yは−2なので傾きは−1

3つとも傾きは−1で、直線y＝−x＋1の傾きと一致します。4つの点は1本の直線の上に並んでいるので、答えの座標は筋が通っています。

もう1つ、Aがy軸の上、Bがx軸の上にあることも確かめます。A(0, 1)はx座標が0なのでy軸の上、B(1, 0)はy座標が0なのでx軸の上です。問題の条件どおりになっています。

なお、答えるのは折り返した点P’やQ’ではなく、AとBの座標です。P’とQ’は、最短の道のりを見つけるために作った補助の点です。答えを書く前に、問題が何を聞いているかをもう一度読み直してください。

 

よくあるつまずき

授業の中で出てきた言葉をもとに、この問題で手が止まりやすいところをまとめます。

• Qだけを折り返して先へ進んでしまう。点が1つの問題に慣れていると、いつもの一手で終わりにしたくなります。先生も「これBだけだったら」「Qだけ線対称にすればよかったんだよね」と、1つの場合との違いを示していました。曲がり角がいくつあるかを数え、その数だけ点を折り返してください
• 折り返す軸を取り違える。Pをx軸で、Qをy軸で折り返してしまうと、道のりはまっすぐになりません。Pの次に立ち寄るのはy軸の上のA、Qの手前で立ち寄るのはx軸の上のBです。点がとなりで立ち寄る軸について折り返します
• 増加量の符号をまちがえる。P'(−2, 3)からQ'(3, −2)へ進むとき、先生は「−2から3までいってるから」xの増加量は＋5、「yの増加量は3から−2までいってるから」−5と、どこからどこへ進むかを声に出して確かめていました。xとyで出発点をそろえないと、傾きの符号がずれます
• AとBの出し方を逆にしてしまう。Aはy軸の上なのでx＝0、Bはx軸の上なのでy＝0です。y軸との交点は切片で読めますが、x軸との交点は式にy＝0を入れて求めます。どちらの軸との交点かを先に決めてから計算してください

もう1つ気をつけたいのが、折り返した点の座標を出すところです。点を折り返したら、その座標を図の上に書きこんでから次へ進みましょう。授業でも先生は、Q’の座標を出したところで「ＯＫ?」と生徒に確かめてから、Pの折り返しへ進んでいました。図に座標を書いておけば、傾きを求めるときに読み間違えにくくなります。

 

よくある質問

ここは授業では扱っていない補足をふくみます。

Q. 連立方程式で直線の式を求めるときは、どうなりますか？

A. 授業で生徒が最初に答えたのは、こちらのやり方でした。y＝ax＋bにP'(−2, 3)とQ'(3, −2)を入れます。

3＝−2a＋b

−2＝3a＋b

下の式から上の式を引くと、

−5＝5a

a＝−1

これを上の式に入れると、3＝2＋bなのでb＝1です。傾きを先に求めたときと同じく、y＝−x＋1になります。

Q. 折れ線の長さの最小値はいくつになりますか？

A. 問題で聞かれているのはAとBの位置ですが、最小の長さはP’Q’の長さと同じです。P’からQ’までは、横に5、たてに5進んでいます。三平方の定理（中3で習います）を使うと、

P’Q’＝√(5²＋5²)＝5√2

となります。中2の段階では、長さがP’からQ’までの直線の長さに置きかわる、というところまでつかめていれば十分です。

Q. PとQを折り返す順番は、逆でもいいですか？

A. かまいません。授業ではQを先に折り返しましたが、Pを先にy軸で折り返しても、できるP’とQ’は同じです。大事なのは順番ではなく、どの点をどの軸で折り返すかの組み合わせです。

 

まとめ

x軸とy軸の両方を経由する一次関数の最短距離の問題は、点が1つの問題と同じ考え方の延長にあります。最短距離は直線。だから、曲がった道のりを折り返しでまっすぐに直します。ちがうのは、曲がり角が2つあるので、折り返す点も2つ要るところです。

今回の問題では、Qをx軸についてQ'(3, −2)に、Pをy軸についてP'(−2, 3)に折り返しました。折れ線PABQの長さはP’からQ’までの道のりに置きかわり、直線y＝−x＋1とy軸・x軸との交点からAとBが決まりました。

先生が問題を読んだ直後に「これは難しいね」と言ったように、初めて見ると手が止まりやすい問題です。それでも、1つずつ折り返して直線で結ぶ、という手順は点が1つのときと変わりません。授業のやり取りを思い出しながら、もう一度自分の手で図をかいてみてください。

一次関数の最短距離で、どの点をどの軸で折り返せばいいのか分からなくなった。直線の式は出せたのに、座標の読み方で迷った。そんなつまずきは、Laf先生の公式LINEから気軽に質問してください。オンライン学習塾Lafでは、無料のオンライン授業も開催しています。「わからない」を「わかった！」に、一緒に変えていきましょう。

 

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