【中3数学】二次関数｜放物線上の台形の面積の求め方と点Pの座標2 min read

二次関数のグラフの上に四角形ができて、その台形の面積を求める問題は、中3数学の二次関数でよく出てくる形です。台形の面積と聞くと(上底＋下底)×高さ÷2 の公式を思いうかべますが、座標平面の上では、その公式をそのまま使うより速い求め方があります。

この記事であつかうのは、授業で一緒に解いた1問です。(2)の台形の問題文を読んだあと、先生が「いける?」と聞いたところで、生徒の返事と先生の言葉がこちらです。

この記事では、(1)の点Pの座標から始めて、(2)の台形の面積まで、授業と同じ順番で進めます。(2)は、台形を三角形2つに分ける発想、平行な直線の傾き、放物線と直線の連立、面積の計算の4つに分けて説明します。

先に動画で確認したい方はこちらからどうぞ。

 

今回の問題と、授業で止まっていたところ

今回いっしょに考えるのは、この問題です。

右の図のように、放物線 y＝2分の1x² の上に点R(−1, 2分の1)がある。点Qは(0, 3)。点Pは放物線の上を動き、x座標は正である。

• (1) ∠POQ＝∠PQO となるときの、点Pの座標を求めなさい。
• (2) 四角形OPQRが、OR∥PQ の台形となるときの、台形の面積を求めなさい。

点Qはy軸の上にあり、原点OとQを結ぶと、y軸の上に長さ3の線分ができます。点Pのx座標が正という条件について、先生は「y軸より左行ったらマイナスになっちゃうもんね」と言って、Pはy軸より右側にあると確かめています。この条件は、(1)でも(2)でも、最後に答えを1つにしぼる場面で使います。

授業で手が止まった場所は、大きく3つありました。

• (2)の最初。先生の「これどういう発想で解いていったらいいと思う?」のあと、「いける?」に生徒は「いやわかんない」
• 直線PQの傾きを考える場面。先生の「平行な直線は何が一緒って習った?」に、生徒は「何が一緒?」と聞き返す
• 二次方程式の因数分解。生徒は一度「x−3とx＋2に分けて」と答え、先生に直されて (x＋3)(x−2) になった

(1)は二等辺三角形、(2)は平行な直線と連立方程式。図形の性質と式の計算を行き来する問題です

 

(1) ∠POQ＝∠PQOなら二等辺三角形、Pのy座標は中点で決まる

(1)は、∠POQと∠PQOが等しくなるときの点Pです。O、P、Qを結んだ三角形OPQで、2つの角の場所を確かめていくと、生徒が「ＰＱＯになると」「二等辺」と気づきました。先生は「聞いてあげたら案外分かったね」と返しています。

∠POQと∠PQOは、どちらも辺OQの両はしにある角です。先生の言葉では「底角が一緒だから」。底角が等しい三角形は二等辺三角形なので、三角形OPQは OP＝PQ の二等辺三角形になります。

ここで使うのが、二等辺三角形の頂点から底辺に垂線を引くと、底辺の中点を通るという性質です。先生は「二等辺三角形から垂線引っ張ると」「半分半分で中点になるよってやつ」と説明しました。垂線で分けた上と下の小さな三角形は「合同にならないとおかしいじゃん」というのが理由です。

頂点Pから底辺OQに引いた垂線は、OQの中点を通る。OQはy軸の上にあるので、垂線はx軸と平行な横の線です。だから、点Pのy座標はOQの中点のy座標と同じになります。

先生の「ここの中点の高さいくつになると思う?」に、生徒は「2分の3っすね」。O(0, 0)とQ(0, 3)の真ん中なので、y座標は2分の3です。

Pは放物線の上の点なので、y＝2分の1x² に y＝2分の3 を代入します。

2分の3＝2分の1x²

両辺を2倍します。

3＝x²

x＝±√3

先生は「プラスマイナス√3に計算式上はなるんだけれど」「Pはマイナスはないって言ってるから√3ですね」とまとめています。

答え：P(√3, 2分の3)

 

(2) 台形の面積の求め方は、対角線OQで三角形2つに分ける

(2)は、四角形OPQRが OR∥PQ の台形になるときの面積です。問題文を読んだ先生の第一声は「うわーめんどくさそうだね」。生徒も「いやわかんない」と止まりました。

そこで先生が示したのが「まず二つの発想が必要です」という整理です。

• 「一つ目はPの座標をどうやって求めるのか」
• 「もう一つは台形の面積をどうやって求めるのかなんだけれど」

先生は順番を入れかえて、先に面積の求め方から考えました。Pの座標がもう分かっているとしたら、「この台形どうやって求めると効率がいいと思う?」。生徒が三角形の高さに目をつけたところで、先生は「三角形二つに分けちゃえばいいんだよ」と答えています。

台形OPQRは、対角線OQで三角形OPQと三角形OQRの2つに分けられる。どちらの三角形も、y軸の上にあるOQを底辺にできます。OQの長さは3です。

ここで高さを正しくおさえておきます。OQを底辺にしたときの高さは、頂点からy軸までの横の長さです。つまり、PとRのx座標の長さが高さになります。

• 三角形OPQ：底辺OQ＝3、高さ＝Pのx座標の長さ
• 三角形OQR：底辺OQ＝3、高さ＝Rのx座標の長さ

R(−1, 2分の1)のx座標は−1なので、三角形OQRの高さは1です。高さは長さなので、マイナスはつけません。あとはPのx座標さえ分かれば、三角形OPQの高さも決まります。

生徒は「台形求めなくていいんですね」と反応しています。台形の公式を使うには、上底のOR、下底のPQ、2本の平行な辺の間の距離が要ります。三角形2つに分ければ、どれも使わずにすみます。

先生は続けて「じゃああとはPの座標を求めればいいやんって話で」。ここから、1つ目の発想のPの座標に進みます。なお、(2)のPは(1)とは別の位置です。Pは放物線の上を動く点なので、(2)の条件に合う場所をあらためて探します。

 

(2) 平行な直線は傾きが同じ、で直線PQの式を出す

Pの座標を出す手がかりは、OR∥PQ という条件です。先生は「平行な直線って性質なんかなかったっけ?」と聞き、さらに「平行な直線は何が一緒って習った?」と続けました。生徒は「何が一緒?」と聞き返しています。

答えは傾きです。平行な直線は、傾きが等しい。直線ORの傾きが分かれば、直線PQの傾きも同じだと分かります。

ステップ1：直線ORの傾きを出す

R(−1, 2分の1)からO(0, 0)へ進むと、xは−1から0へ1増え、yは2分の1から0へ2分の1減ります。先生の言葉では「1増加して2分の1下がってんだよね」。

傾き＝yの増加量÷xの増加量

傾き＝(−2分の1)÷1＝−2分の1

生徒も「傾きは−2分の1」と答えています。

ステップ2：直線PQの式を出す

先生は「まずPの座標を求めるんじゃなくて」「この直線の方程式求めちゃおう」と言いました。直線PQの傾きは、ORと同じ−2分の1です。切片を聞かれた生徒は「切片は3です」。直線PQは点Q(0, 3)を通るからで、先生も「(0,3)通ってるから＋3にならない?」と確かめています。

y＝−2分の1x＋3

PはまだどこにあるかわからないのにPQの式が出せるのは、傾きとQの座標がそろっているからです。

平行な直線は傾きが同じ、という性質は中2の一次関数で習います。一次関数で、平行な直線の式を求めて、その直線とx軸との交点を出す問題を解説した記事があります。傾きを使って直線の式を作るところを、一次関数の形で確かめたいときに読んでみてください。

【中2数学】一次関数｜平行な直線とx軸との交点の座標の求め方

中2数学の一次関数で「点(4,-5)を通りy=-2x+5に平行な直線ℓと、x軸との交点の座標」を解説します。平行なら傾きが同じ、x軸上ならy=0。この2つの鉄則で条件を式に翻訳すれば、あとは代入だけ。答えの(3/2, 0)までを3ステップと検算に分けて整理しました。

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(2) 放物線と直線の式を連立して、Pのx座標を出す

点Pは、直線PQの上にあり、放物線 y＝2分の1x² の上にもあります。2つのグラフが交わる点なので、xとyがどちらの式も満たします。先生の言葉では「連立方程式で解けばPの座標わかるよね」。

y＝2分の1x²

y＝−2分の1x＋3

先生の「加減法と代入法だったらどっちで解いた方がいいかな?」に、生徒は「代入ですね」。どちらも y＝ の形なので、yを消すように代入します。

2分の1x²＝−2分の1x＋3

分数のままだと計算しにくいので、生徒の答えのとおり「両辺に2をかけて」分数を消します。

x²＝−x＋6

右辺を左辺に移項します。

x²＋x−6＝0

この二次方程式を、生徒は「因数分解で」解こうとしました。最初の答えは「x−3とx＋2に分けて」。ここで先生が止めています。

「これ＋xになってるから正の数字が大きくならないといけないから これ＋3じゃない?」

かけて−6、たして＋1になる2つの数を探します。たして＋1なので、プラスの数のほうが大きくないといけません。だから＋3と−2です。生徒も「あ、そうか」と気づきました。

(x＋3)(x−2)＝0

x＝−3, 2

最後に、問題文の条件で答えをしぼります。生徒の言葉では「−3はここで適用されないので2です」。Pのx座標は正なので、x＝−3 は捨てて x＝2 です。

先生はここで「もうy座標求めなくていいです」と言いました。理由は「このPのx座標が分かればこのちっちゃい三角形の高さ2って分からない?」。OQを底辺にする三角形OPQの高さは、Pのx座標の長さだからです。y座標を求めるなら放物線の式に代入して P(2, 2) ですが、先生の言うとおり「わざわざ求める必要はないです」。

 

(2) 2つの三角形の面積を足して、台形の面積を出す

材料がそろいました。底辺はどちらもOQ＝3、高さはPのx座標から2、Rのx座標から1です。生徒の答えは「3×2×2分の1と3×1×2分の1の三角形を面積足してあげる」。

三角形OPQ：3×2×2分の1＝3

三角形OQR：3×1×2分の1＝2分の3

2つを足します。先生は「先にもうこれ通分しとこう」と言って、分母を2にそろえました。

3＋2分の3＝2分の6＋2分の3＝2分の9

答え：台形OPQRの面積は 2分の9

先生の「2分の9が答えになるかな」に、生徒は「分かります」と答えています。

ふり返ると、(2)は2つの発想の組み合わせでした。面積は三角形2つに分けて、高さはx座標から読む。この見方があったので、Pのy座標も、台形の公式も使わずにすみました。そしてPのx座標は、平行な直線の傾きから直線PQの式を作り、放物線と連立して出しました。

最初の「いやわかんない」から、生徒は連立方程式の解き方、因数分解、答えのしぼりこみまで、1つずつ自分の言葉で答えています。問題文が長くても、何を求めるために何が要るのかを先に決めると、手順が見えてきます。

 

答えの検算：座標と面積を別の方法で確かめる

ここからは授業では扱っていない補足ですが、答えが出たら、つじつまが合っているかを確かめておきましょう。

確かめ1：(1)のP(√3, 2分の3)が放物線の上にあるか

x＝√3 を y＝2分の1x² に代入します。

y＝2分の1×(√3)²＝2分の1×3＝2分の3

y座標が2分の3になり、OQの中点のy座標と一致しました。

確かめ2：(2)のP(2, 2)が放物線と直線PQの両方の上にあるか

放物線：y＝2分の1×2²＝2

直線PQ：y＝−2分の1×2＋3＝2

どちらも y＝2 なので、P(2, 2)は両方のグラフの上にあります。

確かめ3：長方形から引いて面積を出す

4つの頂点O(0, 0)、P(2, 2)、Q(0, 3)、R(−1, 2分の1)を囲む、xが−1から2、yが0から3の長方形を考えます。面積は 3×3＝9 です。ここから、台形の外にある4つの直角三角形を引きます。

• 右下（O、(2, 0)、P）：2×2×2分の1＝2
• 右上（P、(2, 3)、Q）：2×1×2分の1＝1
• 左上（Q、(−1, 3)、R）：1×2分の5×2分の1＝4分の5
• 左下（R、(−1, 0)、O）：1×2分の1×2分の1＝4分の1

2＋1＋4分の5＋4分の1＝3＋2分の3＝2分の9

9−2分の9＝2分の9

三角形2つに分けた答えと同じ2分の9になりました。

 

よくあるつまずき

ここも授業では扱っていない補足をふくみますが、この問題で手が止まりやすい場所をまとめておきます。

• (1)で、角の条件を式で考えようとして止まる。2つの角が辺OQの両はしにあると図で確かめれば、二等辺三角形だと見えてきます
• 高さをy座標で考えてしまう。OQを底辺にしたときの高さは、頂点からy軸までの横の長さです。PとRのx座標の長さを使います
• Rのx座標−1を、そのまま高さに入れる。高さは長さなので1です
• 平行な直線の性質を思い出せない。授業の生徒も「何が一緒?」と聞き返していました。平行な直線は傾きが等しい、を一次関数の復習として確かめておきましょう
• 因数分解の符号を逆にする。x²＋x−6 は、かけて−6、たして＋1。授業でも「x−3とx＋2に分けて」と一度答えて直されていました。かっこを開いて元の式にもどるかを確かめると防げます
• x＝−3 を答えに残す。最後に、Pのx座標は正という問題文の条件を見直します。(1)の −√3 も同じです
• (1)のPの座標を(2)でも使ってしまう。Pは動く点なので、(2)は(2)の条件で座標を出し直します

どれも、計算の力よりも、図のどこの長さなのか、問題文の条件は何だったか、という確認がぬけることで起きやすいつまずきです。

 

よくある質問

ここは授業では扱っていない補足です。

Q. 台形の公式 (上底＋下底)×高さ÷2 は使えないのですか？

A. 使えますが、この問題では手間がかかります。上底のOR、下底のPQは、どちらもななめの線分です。長さを座標から出すには三平方の定理が必要で、√が出てきます。2本の平行な辺の間の距離も、座標からすぐには読めません。対角線OQで三角形2つに分ければ、底辺も高さも座標から直接読めるので、こちらのほうが計算が短くすみます。

Q. x＝−3 のときの点は何を表しているのですか？

A. 直線PQと放物線の、もう1つの交点です。y＝2分の1x² に x＝−3 を代入すると y＝2分の9 で、点(−3, 2分の9)はy軸の左側にあります。直線 y＝−2分の1x＋3 に代入しても y＝2分の9 になります。Pのx座標は正という問題文の条件に合わないので、答えにはしません。

Q. (2)で、Pのy座標は本当に求めなくていいのですか？

A. 面積を求めるだけなら必要ありません。OQを底辺にしたとき、高さに使うのはPのx座標だけだからです。座標を答える問題なら、P(2, 2)まで書きます。

Q. 二次関数と図形の面積の問題を、ほかにも練習したいです。

A. 同じ中3の二次関数で、放物線の上の2点と原点でできる三角形の面積と、その面積を二等分する直線の式を求める問題を解説した記事があります。三角形を2つに分けて面積を出す考え方は、今回の台形と共通しています。

【中3数学】二次関数｜三角形の面積を二等分する直線の式の求め方

中3数学の二次関数「y＝2分の1x²のグラフ上の2点A、Bと原点Oでできる三角形OAB」の問題を解説します。yの変域で原点が最小になるトラップ、y軸で2つに分けて面積12を出す方法と等積変形の別解、原点を通って面積を二等分する直線が辺ABの中点を通る理由まで、授業の流れのまま順に確かめます。

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まとめ

今回の問題は、(1)が二等辺三角形の性質、(2)が平行な直線と連立方程式でした。(1)は、底角が等しいので三角形OPQは二等辺三角形になり、頂点Pから引いた垂線がOQの中点を通ることから、Pのy座標は2分の3。y＝2分の1x² に代入して、x座標が正の P(√3, 2分の3) でした。

(2)は、台形OPQRを対角線OQで三角形2つに分けました。ORの傾き−2分の1から直線PQは y＝−2分の1x＋3、放物線と連立して x²＋x−6＝0、(x＋3)(x−2)＝0 から、x座標が正の x＝2。底辺OQ＝3、高さ2と1の三角形を足して、3＋2分の3＝2分の9 でした。

授業の生徒も、(2)の最初は「いやわかんない」と止まっていました。それでも、何が要るのかを2つに分けて考えると、最後は自分の言葉で答えを出しています。求めたいものから逆にたどる流れを意識してみてください。

台形の面積の求め方で手が止まった。平行な直線の性質を忘れていた。そんなつまずきは、Laf先生の公式LINEから気軽に質問してください。オンライン学習塾Lafでは、無料のオンライン授業も開催しています。わからないところを、一緒に1つずつわかるようにしていきましょう。

 

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