一次関数が苦手です。グラフを書くのも、交点を求めるのも苦手で、なんなら文章問題になるとさっぱり分かりません。どうしたらいいですか?
その相談、めちゃくちゃ多いです。でも安心してください。一次関数がわからないわけじゃないんですよ。
一次関数って、名前からしてとっつきにくいですよね。「一次」という言葉の意味も分かりづらいですし、「関数」という漢字を見ただけでアレルギー反応が出る、もう嫌だと思う人も多いんじゃないかと思います。
でも、結論から言います。
一次関数は、中1で習う比例のグラフに「スタート地点」がついただけなんです。
だから、一次関数がわからないんじゃありません。実は中学1年生で習った比例と反比例が頭に入っていない、そこでつまずいている。そういう人が本当に多いです。
この記事でお伝えするのは、次の内容です。
- 一次関数が苦手になる3つの原因タイプ
- 「一次関数」という言葉の意味（次数と「関係のある数」）
- 変化の割合と傾きが同じものである理由
- やってはいけない一次関数の勉強法3つ
- 今日からできる正しい勉強の5ステップ
- 変域をグラフで一発で解く方法
- 学年別のつまずきポイントと戻る場所
- 夏休みにどこから手をつけるか
- 保護者の方ができるワンポイント
最後に、無料の特典もご用意しています。
先に動画で確認したい方はこちらからどうぞ。
- 一次関数が苦手なのは、一次関数のせいじゃない
- 一次関数が苦手になる3つの原因タイプ
- 「一次関数」という言葉の意味｜次数と「関係のある数」
- 変化の割合と傾きは、同じものです
- やってはいけない一次関数の勉強法3つ
- 今日からできる正しい勉強の5ステップ
- 【無料プレゼント】単元の振り返り表と、比例・一次関数の無料授業
- 変域はグラフを書けば一発で解ける
- 学年別のつまずきポイントと戻る場所
- 夏休みは「積み上げ系」から手をつける
- 定期テストの振り返りが、戻る場所を教えてくれる
- 【保護者の方へ】「なんでわからないの」の代わりに聞く一言
- 一次関数のよくある質問（Q&A）
- まとめ｜一次関数が苦手なのは、一次関数のせいじゃない
- あわせて読みたい
- 動画でくわしく確認する
- 毎朝7:15から勉強相談ライブをやっています
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一次関数が苦手なのは、一次関数のせいじゃない
まず、いちばん伝えたい前提からいきます。
比例の式は y＝ax でした。それに対して一次関数の式は y＝ax+b です。
見比べてみてください。違いは、うしろに +b がついているかどうかだけですよね。
この b は「切片」と呼ばれるもので、やっていることは平行移動だけです。y＝ax で出てくる値を、全部プラスbするか、マイナスbするか。それだけなんですね。
比例は0からスタートします。一次関数は、bの分だけ上（または下）からスタートします。スタートする場所が違うだけで、そこからの動き方（傾き）は同じです。
エレベーターで考えてみましょう。1階から動き始めるエレベーターと、3階から動き始めるエレベーター。スタートする階は違いますが、1階分あがるスピードは同じですよね。比例と一次関数の関係は、これとまったく同じです。
だから、比例がちゃんと体に入っていれば、一次関数はもうほとんど分かっている状態なんです。逆に言うと、比例があやふやなまま +b が出てきた瞬間に、全部が別物に見えてしまう。ここが苦手の入口です。
そして、ここに気づけると打ち手がはっきりします。一次関数で苦手だなと思った人は、比例と反比例の単元に戻ることが超大切です。
戻るのって、遠回りに見えますよね。でも、意外と中1の内容に戻るのが一番の近道になります。
一次関数が苦手になる3つの原因タイプ
やみくもに問題集を回しても、なかなか変わりません。自分がどこでつまずいているかを先に見つけましょう。よくあるのは次の3つです。
タイプ①：比例を「公式」としてしか覚えていない
いちばん多いです。比例の公式、覚えていますか。y＝ax と習ったと思います。
このとき本当は「xが2倍になったらyの値も2倍になる」「xが3倍になったらyの値も3倍になる」、こういう関係のことを比例と言うよ、と教わっているはずなんですね。
でも、そこをさっと流して公式だけを頭に入れてしまう。問題を解くときも常に公式に当てはめるだけで、ただの計算問題として処理してしまう。
すると、+b が入った瞬間にわからなくなります。公式の形が変わったので、まったく新しいものに見えてしまうからです。
タイプ②：「変化の割合」と「傾き」が別物だと思っている
教科書では「変化の割合」という言葉が先に出てきて、あとから「傾き」という言葉が出てきます。だから頭の中に、覚えるべき公式が2つあるように見えてしまうんですね。
でも、一次関数においては変化の割合と傾きは同じものです。ここは大事なので、次の次のセクションでじっくりお話しします。
タイプ③：グラフを書かず、頭の中だけで解こうとする
これはもう何回も言っている、数学あるあるです。
数学の点数が低い人ほど、途中式を書きません。頭の中で全部完結させようとします。逆に、点数が高い人は途中式を丁寧に書きます。図形の問題なら図に情報をどんどん書き込むし、必要なら図形を切り取って別に書き出したりもします。
とにかく頭の中で考えないで、外に書き出す。これが数学の点数が高い人の特徴です。
一次関数もまったく同じで、頭の中で全部考えるんじゃなくて、グラフを書いてイメージしやすい状態にする。これがマジでポイントです。
「一次関数」という言葉の意味｜次数と「関係のある数」
ここでひとつ、テストには直接出ないけれど知っておくと気がラクになる話をします。
そもそも「一次関数」という言葉の意味、説明できますか。実はこれ、「一次」と「関数」の2つに分けられます。
「一次」＝次数が1という意味
一次関数があるということは、二次関数もあります。中3で習うy＝ax²ですね。
この「一次」「二次」の正体が次数です。次数というのは、ざっくり言うと文字がいくつついているか。
- xが1乗（文字が1つ）だから → 一次関数
- xが2乗（文字が2つ）だから → 二次関数
一次と二次の違いは、次数が1なのか2なのか。それだけの違いでしかありません。
「関数」＝関係のある数
そして「関数」という言葉。この漢字が嫌だなと思う人も多いと思います。
これは「関係のある数」と覚えておけばOKです。
xに1つの値を決めたら、関係のあるyの値がピュンと同時に決まってしまう。だからxとyは関係がある、要はつながっているんだ。そんなイメージですね。
厳密には表記や定義が少し違うのですが、まずは「関係のある数なんだ」と思っておくと、ぐっとピンときやすくなります。
言葉の意味が分かるだけで、アレルギーはけっこう軽くなります。名前が怖かっただけ、というケースは本当に多いです。
変化の割合と傾きは、同じものです
原因タイプ②の直し方が、ここです。この記事でいちばん丁寧に読んでほしいセクションでもあります。
変化の割合の求め方は、xの増加量分のyの増加量。つまり「yの増加量 ÷ xの増加量」ですね。
この言葉、嫌ですよね（笑）。でも、やっていることはすごく単純です。
まず、増加量って何?
- yの増加量 ＝ yがどれくらい増えたか。yが1から7になっていたら、6増加
- xの増加量 ＝ xがどれくらい増えたか。xが1から3になっていたら、2増加
ここまではいいですよね。
なぜyの増加量をxの増加量で割るのか
さっきの例で計算してみます。
`6 ÷ 2 ＝ 3`
この3が傾きだよ、と教わったと思います。では、この割り算は何をやっているのでしょうか。
xが2増えたときに、yは6増えている。ということは、その半分のxが1増えたときには、yは3増える。そういうことですよね。
つまり、変化の割合とは「xが1増えたときに、yがどれくらい増えるのか」を出しているだけなんです。
xが1増えたときの上がり幅が小さければグラフはゆるやかになり、大きければぐっと急になります。たとえば、yが8増えてxが2増えている場合。
`8 ÷ 2 ＝ 4`
さっきの3より数字が大きいですよね。だから傾斜がさらに急になります。
この「1増えたときに、どれだけ上がるか」の度合いを、グラフの世界では傾きと呼んでいます。式で計算したら変化の割合、グラフで見たら傾き。見る場所が違うだけで、出てくる数字は同じなんですね。
計算だけで理解しようとすると「何のこっちゃ」となりやすいところです。実際にグラフを書いて、手を動かしながら確認するのがいちばん早いと思います。
変化の割合の解説動画もあるので、あわせてどうぞ。
やってはいけない一次関数の勉強法3つ
正しいやり方の前に、避けてほしいことを3つ挙げます。
- y＝ax+bの公式だけを丸暗記して、傾きと切片の意味を確認しない
- グラフを書かずに、数字だけで解こうとする
- 式を作るところで満足して、変域と文章問題を後回しにする
①公式だけを丸暗記して、傾きと切片の意味を確認しない
これは比例のときと同じ話です。
切片というのは、さきほどお話ししたとおり、y＝axの値を全部プラスbするかマイナスbするかという平行移動でしかありません。ここの意味が入っていないと、少し問題の形が変わっただけで対応できなくなります。
公式を書けたら満足してしまう人、いますよね。それは公式を書くことがゴールになってしまっていて、その式が何を表しているかが分かっていない状態です。
②グラフを書かずに、数字だけで解こうとする
一次関数を「計算問題」だと思ってしまうパターンです。
グラフの問題は、しっかりグラフに書き出しながら解いていきましょう。符号のミスや、変域の大小の取り違えは、頭の中だけで処理しようとしたときにいちばん起きます。
③変域と文章問題を後回しにする
式を作るところまではできるのに、そこで手が止まってしまう人です。
変域が苦手という人、多いですよね。文章問題もなかなか癖の強い問題が多いです。ただ、苦手なものを後回しにすると、苦手なままになります。変域については、このあと解き方を単独でお話しします。
今日からできる正しい勉強の5ステップ
お待たせしました。ここが今日の本題です。
ステップ1：比例（y＝ax）に戻って勉強し直す
もう何度も言っていますが、ここがスタートです。
公式として覚え直すのではなく、「xが1増えたら、yはいくつ増えるのか」を表や具体例で確かめてください。増え方を感覚として持てているかどうかが分かれ目です。
そのうえで、xの増加量分のyの増加量が傾きであること、傾きと変化の割合は同じものであることを押さえておきましょう。
ステップ2：一次関数は「比例にスタート地点がついただけ」と捉え直す
y＝ax+b の b は、切片の分だけ上がっているだけ。動き方そのものは比例と同じです。
エレベーターの階が変わっただけで、上がるスピードは変わっていない。この捉え直しができると、一次関数が急に身近になります。
ステップ3：変化の割合と傾きが同じものだと図で確認する
これも先ほどお話ししたとおりです。
グラフで1マス右に進んだときに何マス上がるかを、実際に数えてみてください。そして、式で計算した変化の割合と一致することを自分の目で確かめる。この一致を自分で確認した経験があるかどうかで、定着がまったく変わります。
ステップ4：グラフを実際に書いてから代入する
頭の中だけで解かないでください。
やり方はシンプルです。まず切片の位置に点を打つ。次に、傾きの分だけ動かしてもう1点を打つ。その2点を結ぶ。これだけです。
グラフの書き方に自信がない人は、動画でも確認しておきましょう。
ステップ5：文章問題は「何をxに、何をyに置くか」を先に決める
ここ、重要です。
中1までの一次方程式では、聞かれていることを文字で置けばよかったんですね。文字は1つで済みました。
ところが一次関数では、xとyという文字が2つ出てきます。だから、何をxに置いて、何をyに置くのかを最初にしっかり掴む訓練が要ります。
式を作る前に、変化するものを2つ見つけて名前をつける。ここさえ決まれば、あとは計算に集中するだけです。
文章問題そのものが苦手な人は、こちらもあわせてどうぞ。
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変域はグラフを書けば一発で解ける
変域、めちゃくちゃつまずくところですよね。ここは単独でお話しします。
まず言葉の意味から。変域とは「変わることができる領域」のことです。xが動ける範囲、yが動ける範囲、ということですね。
いちばん簡単な解き方は、一次関数のグラフを書くことです。手順はこうなります。
- まず一次関数のグラフを書く
- xの変域にあたる範囲に、縦の斜線をビューっと振る
- その斜線に該当している一次関数の部分を見つける
- その部分を、そのままy軸に持ってくる
- y軸で挟まれた範囲が、yの変域
これだけです。グラフに書くと、変域は驚くほど簡単に解けます。
逆に、頭の中や式だけで処理しようとすると、大小関係が入れ替わるところで間違えます。特に傾きがマイナスのときは、xが最小のところでyが最大になります。数字だけを見ていると、ここで不等号の向きを取り違えてしまうんですね。
グラフを書きながらやっていけばミスらないので、変域こそ手を動かしてください。やってはいけない勉強法②の「グラフを書かずに数字だけで解く」が、いちばん高くつくのがこのセクションです。
学年別のつまずきポイントと戻る場所
一次関数まわりのつまずきは、学年ごとにだいたい決まっています。
| 学年 | つまずきやすいところ | 戻る場所 |
|---|---|---|
| 中1 | 比例・反比例（一次関数の土台になる単元） | 小学校の「比例」と、分数・小数の計算 |
| 中2 | 一次関数（y＝ax+bの意味・グラフ・変化の割合・変域） | 中1の比例（y＝ax）の感覚の再確認 |
| 中3 | 二次関数（y＝ax²）。一次関数と混ざった融合問題も出ます | 中2の一次関数の傾き・切片の考え方 |
| 高1 | 一次関数・二次関数の応用（不等式・領域） | 中学の変化の割合の理解 |
見ていただくと分かるのですが、戻る先はどんどん下の学年に降りていきます。そして最終的には、中1の比例に行き着きます。
中3の方は特に注意してください。入試では二次関数と一次関数が混ざった問題も普通に出てきます。今のうちに一次関数を固めておくと、あとがかなりラクになります。
そして中1の方。夏休み前にすでに比例に入っている人もいれば、夏休み明けから入る人もいると思います。比例はつまずきがちな単元なので、なるべく予習で進められる体制を、夏休みのうちに整えておきましょう。
前の学年に戻るのは後退じゃなくて、近道です。これは理科の回でも証明の回でもお話ししていることですが、一次関数もまったく同じでした。
どこまで戻ればいいか分からない人は、こちらもあわせてどうぞ。
夏休みは「積み上げ系」から手をつける
夏休みは、学校の授業が止まっている唯一の期間です。だからこそ、戻って基礎を固め直すチャンスなんですね。そのときにおすすめなのが、積み上げ系の教科から手をつけることです。
- 積み上げ系（理解系）＝英語・数学。中3の内容は中2が分かっていないと解けないし、中2は中1が分かっていないと解けません。だから、抜けを埋めないと先に進めません
- 暗記系＝理科・社会。単元が切り替わればリスタートできますし、受験直前でもある程度は詰め込みが効きます。今から覚えすぎても忘れてしまうことが多いです
だから優先順位は、まず数学と英語。中1・中2の内容を固めることです。数学と英語がすでにできている人は、次は理科。理科の中でも物理と化学が理解系・積み上げ系なので、そこからいきましょう。理解系は、ストーリーや解法、思考プロセスで覚えるぶん忘れにくいという利点もあります。
勉強量は「目標からの逆算」で決める
「1日何時間やればいいですか」という質問もよくいただきます。
正直に言うと、3時間の人もいれば5時間の人も、1時間の人もいます。だから大切なのは、目標から逆算することです。夏休み明けのテストで何点取りたいのか。もっと言うと、高校はどのレベルに行きたいのか。これが決まると、8月が終わったときにどんな状態になっていればいいかが見えてきます。
そして、この目標は全部「仮置き」でかまいません。中1のうちは志望校も決まらなくて当然です。仮でいいので置いてみる、それだけで逆算が始まります。
現実的な組み方としては、数学を毎日1時間やるだけでも中1前期の復習はできます。まずは夏休みの宿題を8月15日までに終わらせて、16日からの2週間を夏休み明けの予習にあてる。この形が理想的だと思います。予習をしておくと、学校の授業がそのまま復習の機会になるので、授業が本当にラクになります。
計画の立て方そのものが不安な人は、こちらもどうぞ。
定期テストの振り返りが、戻る場所を教えてくれる
1学期の定期テストで60点台や70点台だった人におすすめしたいのが、定期テストの振り返りです。
意外とやれていない人が多いのですが、返却された答案は宝の山です。間違えた問題を、次の3つに分けてみてください。
- A：ケアレスミス。計算ミス、問題文の読み間違い、答えの欄の間違いなど
- B：本番で解けなかった。答えを見たら分かるけれど、その場では出てこなかった
- C：そもそも知らない。こんな問題見たことなかった、という知識不足
このABCで理由を分けると、やるべきことが変わります。Cが多いなら戻って学び直す、Bが多いなら演習量を増やす、Aが多いなら解き方の手順を作る、という具合ですね。
ちなみに、Aについては「ケアレスミス」という言葉自体が実はあいまいです。中身を分解しないと対策できません。
テストの点数が80点や90点以上だった人は、宿題が終わり次第どんどん予習に進んで大丈夫です。
【保護者の方へ】「なんでわからないの」の代わりに聞く一言
最後に、この記事を読んでくださっている保護者の方へ、僭越ながらワンポイントです。
まず、避けたい声かけ。
「なんでわからないの」「傾きも切片も教えたのに、なんで理解できないの」「これ、さっきと同じじゃん」。
この3つは、基本的にNGです。保護者の方に高圧的なつもりはないと思いますし、実際、教えたことを繰り返し聞かれるとつい出てしまう言葉ですよね。ただ、言われた側は責められたと受け取ってしまいますし、そもそも本人も「なぜ分からないか」が分かっていません。だから答えようがないんです。
そのかわりに、ヒアリングをしてあげてください。
おすすめの聞き方はこれです。
> 「これ、比例のときってどうやって解いたっけ?」
もし「比例のときも分かんないよ」と返ってきたら、こう続けてみてください。
> 「じゃあ、中1の内容から一緒に戻ってやってみようか」
答えを教える必要は、まったくありません。聞いて、提案するだけです。それだけで、子どもは自分で「あ、同じだ」と気づけることがあります。
教えられなくて大丈夫です。一緒に比例へ戻る係でいいんです。
とはいえ、正直なところ、おっしー先生も中学生のときだったら「めんどくさいよ」と絶対に言っていたと思います（笑）。そう返されたときにどうするかは、ご家庭の状況によって変わります。朝のライブ配信にコメントいただくか、公式LINEにご相談いただければ、できる範囲で精一杯お答えします。
一次関数のよくある質問（Q&A）
Q. 変化の割合と傾き、テストではどっちの言葉で答えればいいですか?
問題文で使われている言葉に合わせて答えれば大丈夫です。一次関数では中身が同じものなので、数値としてはどちらも同じになります。
Q. グラフを書く時間がもったいない気がします。
最初は時間がかかります。ただ、書かずに間違えて解き直すほうが結局は時間を使います。慣れてくると書くスピードも上がるので、トータルでは速くなります。
Q. 一次関数と比例、どっちを先に直せばいいですか?
比例が土台なので、そこが怪しいなら比例が先です。一次関数だけを埋めても、二次関数でまた同じつまずき方をします。
Q. 変域の不等号の向きがいつも逆になります。
傾きがマイナスのときは、xの最小がyの最大になります。頭の中で処理せず、グラフを書いて斜線を振って確認してください。
Q. 交点の求め方が分かりません。
交点は「2つの式のxとyが同時に成り立つ点」なので、連立方程式で解けます。ここでもグラフを書いておくと、答えがだいたいどのあたりに来るかが見えるので、検算になります。
Q. 一次関数は入試に出ますか?
関数の分野は繰り返し出題される単元だと言われています。特に一次関数は、グラフや図形と組み合わせた形で出てくることが多いです。中3で習う二次関数と混ざった問題も出ます。
まとめ｜一次関数が苦手なのは、一次関数のせいじゃない
今日の要点をまとめます。
- 一次関数（y＝ax+b）は、比例（y＝ax）にスタート地点bがついただけ
- だから苦手の正体は、一次関数ではなく中1の「比例」であることが多い
- 原因は3タイプ（①比例を公式としてしか覚えていない ②変化の割合と傾きが別物だと思っている ③グラフを書かず頭の中で解く）
- 「一次」＝次数が1、「関数」＝関係のある数。言葉の意味が分かるとアレルギーは軽くなる
- 変化の割合は「xが1増えたときにyがいくつ増えるか」。式で見るか、グラフで見るかの違いだけ
- NGは「公式だけ丸暗記／グラフを書かず数字だけで解く／変域と文章問題を後回し」
- 5ステップは、比例に戻る → スタート地点と捉え直す → 変化の割合＝傾きを図で確認 → グラフを書いてから代入 → 文章問題はx・yを先に決める
- 変域はグラフを書いて斜線を振り、y軸に持ってくれば一発
- 前の学年に戻るのは後退ではなく、近道
一次関数は、名前が怖いだけの単元です。比例が使えるようになった瞬間に、急に景色が変わります。「自分はどこまで戻ればいいか分からない」「グラフを一緒に書きながら教えてほしい」という人は、公式LINEに「一次関数」と送ってください。
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- 比例・反比例の復習授業と、一次関数の予習授業
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夏休みは、学校の授業が止まっている唯一の期間です。まだまだ時間があります。中1の比例に戻るにも、2学期の予習をするにも、いちばん動きやすい時期だと思います。一緒に頑張っていきましょう。
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