放物線の上に2つの点をとり、その2点を通る直線の上で長さの比を使う問題は、中3数学の二次関数と相似がまざった形です。座標をaで表すところまでは進めても、「PB:BA＝1:2」のような比をどう式にすればいいのかで止まりやすい問題でもあります。
この記事は、授業で先生と生徒が一緒に解いた1問をもとにしています。生徒は(1)の傾きを解き、(2)も途中まで自分で進めていました。止まったのは、そこから比をどう使うかのところです。
この記事では、(1)の傾きから始めて、直線ABの式、点Pの座標、相似な直角三角形、比の式、解の公式、aの範囲での答え選びまで、授業と同じ順番で進めます。
先に動画で確認したい方はこちらからどうぞ。
今回の問題と、授業で止まっていたところ
今回いっしょに考えるのは、大阪教育大附高池田の入試問題です。
> 放物線y＝x²上に2点A、Bをとり、直線ABとx軸の交点をPとする。2点A、Bのx座標をそれぞれa、a−2とするとき、次の問いに答えなさい。ただし、1＜a＜2とする。
> (1) 直線ABの傾きをaを用いて表しなさい。
> (2) PB:BA＝1:2になるように、aの値を定めなさい。
図は文章で説明しておきます。原点を通る放物線y＝x²の上に、右側の点Aと左側の点Bがあります。AとBを通る直線を左下へのばすと、x軸とぶつかります。その交点がPです。直線の上には、左から順にP、B、Aが並んでいます。
(1)について、先生は「これは解けたんだよね」と確かめています。止まったのは(2)です。先生が「これはどこまで分かりましたか?」と聞くと、生徒はこう答えました。
Pの座標をaを使って表すとこまでできたんですけど。あとABの直線の式は出しました
そこからどういう風に求めればいいのかっていうのが、ちょっと分かんなかったみたいな感じ?
生徒の返事は「はい」でした。直線ABの式も、Pの座標も出せている。材料はそろっているのに、PB:BA＝1:2という比を、どの式につなげればいいのかが見えなかったわけです。
先生はここで「ＯＫです」と受けて、次の節で見る大事な一言を続けました。この記事でも、(1)の傾きと直線の式を確かめてから、比の使い方へ進みます。
つまずきの正体：斜めの比のままだと計算しづらい
先生が最初に伝えたのは、比の扱い方です。「ここではこの比を使うことが重要で」と言ってから、こう続けました。「そのままPB:BAだと斜めになってるじゃん」「なのでこのままだとやりづらいんだよね」「計算しづらくて」。
PBもBAも、斜めに引かれた直線ABの一部です。斜めの線分の長さを座標から出そうとすると、横の差とたての差の両方を使って計算することになり、aの入った式ではとても重くなります。ここは授業では扱っていない補足ですが、手が止まりやすいのはここです。比の条件は分かっていても、斜めの長さのままでは式にしにくいのです。
そこで先生が出した方針が、これです。
実は相似に着目するとうまくいきます
なぜ相似なのかも、先生は説明しています。「この相似の発想はどっから来たのかっていうと」「辺の比が使えるから」「で辺の比が問題文に与えられてるから」「相似について考えようとしてるわけだよね」。
問題文に辺の比が書いてあるなら、相似な図形を見つけて、別の辺の比に置きかえられないかを考える。斜めの比は、相似を使って真横の比に置きかえる。これが今回の問題の中心です。
真横、つまりx軸の上にある線分なら、長さは2つの点のx座標の差で出せます。斜めの比をx軸の上の比に直せれば、Pの座標をaで表した式がそのまま使えます。生徒が自分で出した材料が、ここで生きてきます。
(1) 直線ABの傾きを2a−2で表す
先に(1)を確かめます。先生は「僕であれば傾きって言ったらxの増加量分のyの増加量っていう式」と言い、そのやり方で解説しました。
まずAとBの座標です。Aのx座標はaなので、y＝x²にx＝aを代入して、y座標はa²です。Bのx座標はa−2なので、y座標は(a−2)²です。
A(a, a²)、B(a−2, (a−2)²)
BからAへ進むときの増加量を出します。先生は「このaからa−2を引いてあげることで表すことができるんだね」と説明しています。
xの増加量＝a−(a−2)＝2
yの増加量は、Aのy座標a²からBのy座標(a−2)²を引きます。
yの増加量＝a²−(a−2)²
＝a²−(a²−4a＋4)
＝4a−4
先生の言葉では「このa²とa²はなくなるわけだよね」「プラマイゼロ」。残るのは4a−4です。
傾き＝(4a−4)÷2＝2a−2
先生も「傾きが2a−2ってまとまる」と言っています。放物線の上の2点の座標をaで表し、増加量の割り算で傾きを出す。(2)はこの傾きを使って進みます。
傾きを「yの増加量÷xの増加量」で出し、連立方程式を使わずに直線の式へ進む流れは、二次関数のグラフの上で三角形の面積を二等分する直線を求めた記事でもくわしく解いています。
ステップ1：直線ABの式を求める
ここから(2)です。先生は図に直線ABをかき足し、まず式を作りました。傾きは2a−2なので、y切片をbとおきます。
y＝(2a−2)x＋b
先生は「この直線ABっていうのは点Aを通ってるので」「xにaを」「yにa²を代入することができるよね」と続けています。
a²＝(2a−2)×a＋b
(2a−2)×aを左側へ移して、bについて整理します。
b＝a²−2a²＋2a
b＝−a²＋2a
先生の言葉では「bの値っていうのは−a²＋2aになるわけ」。生徒も「はい」と返しています。これで直線ABの式が決まりました。
y＝(2a−2)x−a²＋2a
先生は「ここもできて」と言い、生徒が自分で出した直線の式と同じところまで来たことを確かめています。
式にaが入っていると、どこまで計算したのかを見失いやすくなります。この問題では、直線の式もPの座標も最後の比の式も、全部aで表された式です。1行ずつ、どの文字について整理しているのかを意識しながら書いていくと、途中で迷いにくくなります。
ここでbを出すときに、Aの座標を代入したのは、Aのほうが式が短いからです。Bの座標(a−2, (a−2)²)を代入しても同じ式になりますが、展開の手間が増えます。代入する点は、計算が軽くなるほうを選ぶとよいでしょう。
ステップ2：点Pの座標と、2a−2で割る前の確認
次はPの座標です。先生は「点Pのy座標が0っていうのを使ってあげるんだよね」と言い、直線の式にy＝0を入れました。
0＝(2a−2)x−a²＋2a
a²−2a＝(2a−2)x
最後は両辺を2a−2で割ります。ただし、その前に先生はこう注意しています。
ここで注意してほしいのが、これが0かどうかっていうのを必ず確認してほしいです
0で割ることはできないので、2a−2が0にならないかを確かめます。先生が「今回の問題ではaの範囲っていくつだったっけ?」と聞くと、生徒は「1以上2か」と答えました。先生は「そうねこれは1より大きくて2より小さいって言い方の方がいいです」と言い直しています。1＜a＜2には、1も2も入らないからです。
1＜a＜2
2＜2a＜4
0＜2a−2＜2
先生の言葉では「この2a−2っていうのは0より大きいから」「0じゃないってことが分かる」。そのうえで「多分これ答案に書かないと」「減点になる可能性があるので」と念をおしていました。文字を含む式で割るときは、0でないことを確かめてから割る。
確認できたので、2a−2で割ります。
x＝(a²−2a)/(2a−2)
Pの座標は、x座標が(a²−2a)/(2a−2)、y座標が0です。生徒が「Pの座標をaを使って表すとこまでできた」と言っていたのは、ここまでです。
ステップ3：垂線を下ろして、相似な直角三角形を作る
ここからが、授業で生徒が止まっていたところです。
先生は図から分かりやすいところだけを抜き出し、2本の垂線を下ろしました。「このBからこのx軸に下ろした垂線の足をB’」「でAからx軸に下ろした垂線の足をA’って置いてあげるか」。B’とA’はどちらもx軸の上にあり、BB’とAA’はどちらもx軸と垂直です。先生も「ここって90度90度だよね」と確かめています。
すると、三角形PBB’と三角形PAA’という、2つの直角三角形ができます。
△PBB’∽△PAA’
角Pは2つの三角形に共通で、角PB’Bと角PA’Aはどちらも90度です。2組の角がそれぞれ等しいので、この2つは相似です。先生は「それぞれの辺に対する比が等しいってことになるから」と言い、斜めの比をx軸の上の比に置きかえました。
ここで先生は、一度書いた式を直しています。最初はPB:BAをPB’:PA’に置きかえて書いたあと、「ここちょっと違うね」と言いました。
なのでここPA’ってしないでB’A’にしよう
理由は比の数字です。PB:BA＝1:2なら、直線の上ではPからBまでが1、BからAまでが2です。PからAまで全部をとると3になるので、PB’:PA’は1:3になります。先生の言葉では「このPA’とここからここまでの長さになっちゃって1:3になっちゃうから」。そこで、1:2のまま使えるB’A’を選びました。
PB:BA＝PB’:B’A’＝1:2
先生は「もちろん1:3でもできるんだけども」「ちょっと点Pのx座標がなんか複雑だから」「あまり使わない方がいいかなと」とも言っています。B’A’ならPの座標を使わずに長さが出せる、という判断です。
先生が「これって何対何だっけ?」と聞くと、生徒は「1対2」と答えました。そして先生が続けたのが「PB’とPA’っていうのはx軸上にあるやつだよね」「斜めじゃなくて真横にあると」「なのでこれだったら計算できそうだよね」。垂線を下ろすと、斜めの比がx軸の上の比に変わる。
相似な三角形を見つけて辺の比の式を作り、二次方程式を解の公式で解く流れは、二等辺三角形の中の線の長さを求めた記事でも同じ順番で解いています。図形の問題で相似から式を作る練習として読んでみてください。
ステップ4：PB’とB’A’をaで表す
x軸の上に移した2つの線分の長さを、x座標の差で出します。
まずPB’です。先生は「B’のx座標っていうのは」「Bのx座標と同じだから」「これa−2になってるわけだよね」と確かめています。B’はPより右にあるので、B’のx座標からPのx座標を引きます。
PB’＝(a−2)−(a²−2a)/(2a−2)
先生は「そうすると通分してあげて」と進めました。a−2を、分母が2a−2の形にそろえます。
＝{(a−2)(2a−2)−a²＋2a}/(2a−2)
かっこを外します。(a−2)(2a−2)を展開すると2a²−6a＋4です。
＝(2a²−6a＋4−a²＋2a)/(2a−2)
分子を計算します。
＝(a²−4a＋4)/(2a−2)
先生も「2a−2分のa²−4a＋4ってなるわけだね」と言っています。これでPB’が求まりました。
PB’＝(a²−4a＋4)/(2a−2)
次にB’A’です。先生は「A’のx座標って何だったのかっていうと」「点Aのx座標だからこれってaだよね」と確かめ、B’のx座標a−2を引きました。
B’A’＝a−(a−2)＝2
先生の「なのでこれは2になるわけだね」に、生徒は「はい」と返しています。B’A’の長さにはPの座標が入らないので、ただの2になります。先生がPA’でなくB’A’を選んだ理由が、ここで見えてきます。
ここまでで、PB’もB’A’もaで表せました。どちらも真横の長さなので、引き算だけで出せたことにも注目してください。斜めのPBやBAを直接求めようとしていたら、こうはいきません。
ステップ5：比の式からa²−6a＋6＝0を作る
2つの長さを、PB’:B’A’＝1:2の比の式に入れます。
(a²−4a＋4)/(2a−2)：2＝1：2
右側の2と左側の2がそろっています。先生は「ここの2と2が一致してるってことは」「ここっていうのは＝1になる」と説明しました。後ろの数が同じ2なら、前の数も同じになるはずです。
(a²−4a＋4)/(2a−2)＝1
両辺に2a−2をかけます。ステップ2で2a−2が0でないことを確かめてあるので、ここでもそのまま進めます。
a²−4a＋4＝2a−2
先生はここで生徒に聞きました。
じゃあこれを左側に持ってきて右側を0だけにするとどういう式になりますか?
a²−6a＋6
先生も「a²−6a＋6になりますね」と受けています。右側の2a−2を左側へ移すと、−4a−2aで−6a、4＋2で6です。
a²−6a＋6＝0
相似の問題として解いてきたのに、最後はaについての二次方程式になりました。比の式から二次方程式が出てくるのは、中3の相似と二次方程式がつながる場面です。ここまで来れば、あとは方程式を解くだけです。
ただし、この式は整数の範囲では因数分解できません。かけて6、たして−6になる2つの整数が見つからないからです。そこで次の節では、解の公式を使います。
ステップ6：bが偶数のときの解の公式で解く
先生は「これは因数分解とかできないので解の公式を用いましょう」と言い、続けて「ここがこの−6っていうのは2の倍数になってるよね」と注目させました。1乗の項の係数が偶数のときは、計算が軽くなる形の公式が使えます。
先生が「−6の時の解の公式って覚えたりしてるかな?」と聞くと、生徒は少しずつ答えていきました。「a分の」「−2分の1b」「プラスマイナスルート」「(2分の1b)の2乗」。先生はもとの公式と比べて、こう整理しています。
もとの公式：x＝{−b±√(b²−4ac)}÷(2a)
bが偶数のとき：x＝{−(b/2)±√((b/2)²−ac)}÷a
先生の言葉では「4がなくなって−acっていう風になるね」「1乗の時の係数が偶数の時に使える」。
ここで1つ気をつけたいことがあります。公式の中のaは「2乗の項の係数」のことで、問題のaとは別物です。先生も「まずここのaっていうのは」「a²の係数なので1になる」と区別していました。
a²−6a＋6＝0では、2乗の係数が1、1乗の係数が−6でその半分が−3、定数項が6です。
a＝{3±√((−3)²−1×6)}÷1
a＝3±√(9−6)
a＝3±√3
先生も「aは3プラスマイナスルート3っていう風に」「aの答えとしては2つになるわけだね」とまとめています。
bが偶数のときの解の公式と、その使いどころは、別の記事でくわしく解説しています。ルートの中の数が大きくなりにくい理由も書いているので、公式を確かめ直したいときに読んでみてください。
aの範囲で答えを1つに決める
解は2つ出ましたが、問題には1＜a＜2という条件があります。先生が「aの範囲っていくつだったっけ?」と聞くと、生徒は今度は「1より大きくて2より小さい」と答えました。先生は「ちゃんと不等号の表現できてるね」とほめています。
まず3＋√3です。先生の言葉では「これって3に＋√3してるから2よりも大きいよね」。3より大きい数なので、条件に合いません。
3＋√3は2より大きいので不適
次に3−√3です。先生が「√3って何の間か分かるかな?」と聞くと、生徒は「1から2」と答えました。√3は1と2の間の数です。
1＜√3＜2
両辺に−1をかけると、不等号の向きが逆になります。
−2＜−√3＜−1
それぞれに3をたします。
1＜3−√3＜2
先生も「3−2で1」「3−1で2になるから」「これってこのaの範囲に入ってるよね」と確かめています。
答え：a＝3−√3
解が2つ出たら、問題の条件に戻って選ぶ。最後に先生が「ここまでの解説でどこか分からないところとかありましたか?」と聞くと、生徒は「大丈夫です」と答えて授業が終わりました。
答えの検算：Pの座標から比を確かめる
ここは授業では扱っていない補足です。a＝3−√3のとき、本当にPB’:B’A’＝1:2になるかを確かめます。
まず必要な値を出します。
a−2＝1−√3
2a−2＝4−2√3
a²−2a＝a(a−2)＝(3−√3)(1−√3)＝6−4√3
Pのx座標は(a²−2a)/(2a−2)です。
(6−4√3)/(4−2√3)
分子の6−4√3は、−√3×(4−2√3)と同じです。−√3×4は−4√3、−√3×(−2√3)は＋6だからです。
Pのx座標＝−√3
PB’は、B’のx座標からPのx座標を引きます。
PB’＝(1−√3)−(−√3)＝1
B’A’は、どんなaでも2でした。
PB’:B’A’＝1:2
問題の条件どおりになりました。PB:BA＝PB’:B’A’なので、PB:BA＝1:2も成り立っています。
もう1つ、点の並び方も見ておきます。Pのx座標は−√3、Bのx座標は1−√3、Aのx座標は3−√3です。√3は1と2の間なので、左からP、B、Aの順に並んでいます。問題の図と同じ並びです。
なお、ステップ4のPB’の分子a²−4a＋4は(a−2)²と同じです。a＝3−√3のとき(a−2)²＝(1−√3)²＝4−2√3となり、分母の2a−2＝4−2√3と一致します。PB’が1になることを、ここからも確かめられます。
よくあるつまずき
授業の中で出てきた言葉をもとに、この問題で手が止まりやすいところをまとめます。
- PB:BAを斜めのまま計算しようとする。先生も「そのままPB:BAだと斜めになってるじゃん」「このままだとやりづらいんだよね」と言っていました。問題文に比があったら、相似を使って真横の比に直せないかを考えます
- PA’を使って1:2のまま式を作ってしまう。PB:BA＝1:2のとき、PB’:PA’は1:3です。先生も最初にPA’と書いてから「B’A’にしよう」と直していました。どの区間の比なのかを、図の上で確かめてから式にします
- 2a−2で割る前の確認を書かない。先生は「多分これ答案に書かないと」「減点になる可能性がある」と言っていました。1＜a＜2から0＜2a−2を示してから割ります
- 不等号の言い方をまちがえる。授業でも生徒が最初に「1以上2か」と答え、先生が「1より大きくて2より小さい」と言い直していました。「以上」は等号を含みます
- 公式のaと問題のaを混ぜる。bが偶数の解の公式のaは2乗の係数です。今回は1なので、割る数も1になります
- 3＋√3も答えに書いてしまう。解の公式で2つ出たら、1＜a＜2に入るかを1つずつ確かめます
もう1つ気をつけたいのが、垂線の足に名前をつけるところです。授業でも先生は、BとAからx軸に下ろした垂線の足をB’、A’と名づけてから計算に入っていました。名前をつけて図に書きこんでおくと、どの区間の長さを求めているのかを取り違えにくくなります。
よくある質問
ここは授業では扱っていない補足をふくみます。
Q. 先生が「1:3でもできる」と言っていたPA’を使うやり方では、どうなりますか？
A. PA’は、A’のx座標aからPのx座標を引いて求めます。
PA’＝a−(a²−2a)/(2a−2)
＝{a(2a−2)−a²＋2a}/(2a−2)
＝a²/(2a−2)
PB’:PA’＝1:3なので、PA’はPB’の3倍です。
3(a²−4a＋4)＝a²
2a²−12a＋12＝0
両辺を2で割ると、a²−6a＋6＝0になり、B’A’を使ったときと同じ方程式が出てきます。ただ、PA’の計算にもPの座標が入るので、手間はB’A’より増えます。
Q. なぜ三角形PBB’と三角形PAA’の比が、x軸の上の比になるのですか？
A. 2つの三角形は相似なので、PB:PA＝PB’:PA’です。PB:BA＝1:2ならPB:PA＝1:3なので、PB’:PA’も1:3です。PB’を1とするとPA’は3なので、残りのB’A’は2になります。だからPB’:B’A’＝1:2です。
Q. aの範囲が問題に書いていなかったら、どうなりますか？
A. 答えを1つに選ぶ手がかりがなくなります。今回の問題では、1＜a＜2という条件が、2a−2が0でないことの確認と、3＋√3を外すことの両方に使われています。条件が書いてある問題では、どこでその条件を使うのかを意識して読むと、解く道すじが見えやすくなります。
まとめ
放物線の上の比を使う問題は、相似と二次関数と二次方程式がつながった問題です。斜めの比のままでは計算しづらいので、垂線を下ろして相似な直角三角形を作り、x軸の上の比に直します。
今回の問題では、(1)の傾き2a−2から直線ABの式とPの座標を出し、PB’:B’A’＝1:2の比の式からa²−6a＋6＝0を作りました。bが偶数の解の公式でa＝3±√3を求め、1＜a＜2の条件からa＝3−√3を選びました。
生徒が「Pの座標をaを使って表すとこまでできた」と言ったように、材料をそろえるところまでは自分で進められる人も多い問題です。止まるのは、その材料を比とつなぐところです。先生の「実は相似に着目するとうまくいきます」という言葉を思い出しながら、もう一度自分の手で図に垂線を下ろしてみてください。
この問題のポイント
- 傾きはxの増加量分のyの増加量。A(a, a²)、B(a−2, (a−2)²)から2a−2
- 文字を含む2a−2で割る前に、1＜a＜2から0でないことを確かめる
- 斜めの比PB:BAは、垂線を下ろした相似な直角三角形でx軸の上の比に直す
- PB:BA＝1:2ならPB’:B’A’＝1:2（PA’を使うと1:3になる）
- a²−6a＋6＝0はbが偶数の解の公式で解き、aの範囲で3−√3を選ぶ
相似に気づけなかった。Pの座標は出せたのに、比の式が作れなかった。そんなつまずきは、Laf先生の公式LINEから気軽に質問してください。オンライン学習塾Lafでは、無料のオンライン授業も開催しています。「わからない」を「わかった！」に、一緒に変えていきましょう。
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