二次関数のグラフの上に、平行四辺形ができている。面積は10と書いてあるけれど、求めたいのは放物線の式にある係数aです。中3数学の二次関数で、高校入試にもよく出る形の問題ですが、何から手をつければいいのか迷いやすい問題でもあります。
この記事は、授業で先生と生徒が一緒に解いた1問をもとにしています。生徒は、平行四辺形の性質を聞かれて「対辺がどっちも平行になる」「対角が全部同じ」までは自分で答えていました。ただ、もう1つの性質は、先生に聞かれても出てきませんでした。
この記事では、平行四辺形の性質からABの長さを決めるところから始めて、底辺×高さで面積をとらえる考え方、直線ℓの位置、2点A、Bの座標、aの値まで、授業と同じ順番で進めます。最後に、授業では扱っていない検算と、よくある質問も付けておきます。
先に動画で確認したい方はこちらからどうぞ。
今回の問題と、授業で止まっていたところ
今回いっしょに考えるのは、次の問題です。
> 右の図のように、2つの関数y＝x²とy＝ax²（ただし、aは0より小さい）のグラフがある。y軸に平行な直線ℓが2つのグラフと交わる点をA、Bとし、y軸上の点Cの座標を(0, 5)とする。四角形OBACが面積10の平行四辺形になるとき、aの値を求めなさい。
>
> （授業の読み上げをもとに整理）
図は文章で説明しておきます。上に開いたy＝x²と、下に開いたy＝ax²があります。y軸に平行な直線ℓが原点の右側にあって、y＝x²と交わる点がA、y＝ax²と交わる点がBです。y軸の上には点C(0, 5)があります。原点O、B、A、Cの順に結んでできる四角形OBACが、面積10の平行四辺形になっています。
先生は、問題を読みながら図に書きこんでいきました。
ここにもちろん、y＝x²と書き込んでおきましょう
で、2番のグラフはaが0より小さいから、下に開いてますね
aが0より小さいので、y＝ax²は下に開いたグラフです。点Bはx軸より下にある、という見通しがここで立ちます。
そのあと先生が、平行四辺形の性質を生徒に聞きました。
じゃあ、平行四辺形って言われたら、特性なんだっけ
平行四辺形は、うん、対辺がどっちも平行になる
そうだね
で、もう一つはなんだっけ
もう一つ、対角が全部同じで
あ、対角も等しい
「対辺が平行」「対角が等しい」。どちらも正しい性質です。ところが先生が「辺関係でもう一つある」と言っても、生徒からは「あと一つ」という言葉が返るだけでした。止まったのは、この3つ目の性質でした。
もう一つ、向かい合う辺の長さが等しいんだ
あーなるほど
つまずきの正体：「辺の長さが等しい」を図の長さに使えていない
平行四辺形の性質は、知っているだけでは問題が進みません。今回の問題で大事なのは、「向かい合う辺の長さが等しい」を、図の中のどの辺に使うかです。
四角形OBACの向かい合う辺は、OCとBAです。OCはy軸の上にあり、点C(0, 5)から長さが分かります。先生は、ここを生徒にたずねました。
ＯＣは、座標Ｃが(0，5)だから
長さいくつだ
あ、長さは、あ、だから5ですね
OC＝5です。向かい合うBAも同じ長さなので、ABの長さも5になります。
ってなったら、このＡＢの長さも
いくつにならないといけないと思う？
ＡＢの長さも5cmにならないといけない
AとBの座標はまだ分かっていません。それでも、ABの長さだけは先に決まります。式を立てる前に、図形の性質だけで決まる長さがある。これが今回の問題の中心です。
ステップ1：底辺×高さで、直線ℓの位置を求める
次は面積です。先生は「冷静に考えて、これ見てこうしようか」と言って、平行四辺形の面積の求め方を生徒に聞きました。
平行四辺形って、どうやって面積求めたらいいんだっけ
高さかける底辺
底辺は今回どこになる？
底辺は5cmのところになります
底辺は、長さが5と分かったAB。では高さはどこでしょうか。
ってことは、このℓとy軸の距離にならない？
ってことは、ここの高さ、適当に、じゃあ、さっき適当に置いたkって置いとこう
ABは直線ℓの上にあり、向かい合うOCはy軸の上にあります。この2本の平行な辺のあいだの距離が、平行四辺形の高さです。つまり、直線ℓとy軸の距離で、これをkとおきます。
面積が10なので、式はこうなります。
5×k＝10
kの値はいくつだ？
kは2ですね
k＝2
ℓとy軸の距離が2ということは、ℓの位置はx＝2です。先生も「戻してxの値は2にならない？」と確かめています。解き始めに先生が「このℓもx＝ほにゃららになると思うんだけれど」と言っていた、その「ほにゃらら」が2に決まりました。
ステップ2：点Aと点Bの座標を出す
直線ℓがx＝2と分かったので、点Aの座標が出ます。Aはy＝x²の上の点です。
そうだね、2って分かったから、y座標はいくつだ？
4ですね
y＝x²にx＝2を入れると、y＝2²＝4です。
A(2, 4)
次は点Bです。ここで生徒が「ああ、そういうことですか」と声を出しています。
ＯＫってなったら、ＡＢの距離5なんでしょ？
yが4だったら、Ｂの座標分かるくない？
ああ、そういうことですか
BはAと同じ直線ℓの上にあるので、x座標はAと同じ2です。ABの長さは5で、Aのy座標は4。Bはaが負なので、x軸より下にあります。そこで、Aから5下がった位置がBです。
4から5を引いてあげれば、−1って出たぞ
4−5＝−1なので、Bのy座標は−1です。
B(2, −1)
ステップ3：点Bの座標をy＝ax²に代入して、aを求める
最後に、aの値です。点Bはy＝ax²の上にあります。x座標とy座標が分かっているので、式に代入します。
点Ｂの座標が分かったから、これ点Ｂってどこの上にある？
点Ｂは、y＝ax²の上の
上にあるって、x座標、y座標が分かるから、それぞれ代入して
y＝ax²に、x＝2、y＝−1を入れます。
−1＝a×2²
−1＝4a
a＝−1/4
授業の最後に、先生が「っていうのが答えになると思うんですけれど、どうでしょう？」と聞くと、生徒は「合ってます」と答えました。
答え：a＝−1/4
答えの検算：平行四辺形になっているか確かめる
ここは授業では扱っていない補足です。出した値で、四角形OBACが本当に面積10の平行四辺形になっているかを確かめます。
4点の座標は、O(0, 0)、B(2, −1)、A(2, 4)、C(0, 5)です。
まず、OCとBAは、どちらもy軸に平行です。OCの長さは5、BAの長さは4−(−1)＝5で、向かい合う辺が平行で、長さも等しくなっています。
次に、OBとCAです。OからBへ進むと、右に2、下に1です。CからAへ進むと、右に2、下に1です。同じ動きなので、OBとCAも平行で、長さが等しくなります。
面積は、底辺5×高さ2＝10です。
aが負で、y＝ax²が下に開いていることも、a＝−1/4で満たされています。
よくあるつまずき
授業の流れから、この問題で手が止まりやすいところをまとめます。授業で実際に止まったのは、次の2つです。
- 平行四辺形の性質を2つしか思い出せない。「対辺が平行」「対角が等しい」に加えて、「向かい合う辺の長さが等しい」が今回の主役です。授業でも、この3つ目だけが生徒から出ませんでした
- Aのy座標を出したあと、Bの座標をどう出すのか分からなくなる。授業でも生徒が「ああ、そういうことですか」と言いました。Bはℓの上にあるのでx座標はAと同じ。yはAから5だけ下がった位置です
次の3つは、授業では出ませんでしたが、この問題でよく起きるつまずきです。
- OCの長さを求めずに、ABの長さを座標から出そうとする。A、Bの座標はまだ分かりません。向かい合うOCが5なので、ABも5と、先に決められます
- 高さを「Bのy座標」などと考えてしまう。この平行四辺形の高さは、平行な2辺OCとABのあいだの距離です。直線ℓとy軸の距離で、横の長さになります
- Aから5下がるか、5上がるかで迷う。aが0より小さいので、y＝ax²はx軸より下にあります。だから、Bのy座標は4−5＝−1です
よくある質問
ここは授業では扱っていない補足をふくみます。
Q. 底辺をOCにしても解けますか？
A. 解けます。OCの長さも5で、OCとABのあいだの距離がkなので、面積は5×kと同じ式になります。底辺をどちらにしても、高さは直線ℓとy軸の距離で変わりません。
Q. Bのy座標が4＋5＝9になることはありませんか？
A. 今回の問題では、ありません。B(2, 9)なら、y＝ax²に入れて9＝4aとなり、a＝9/4と正の数になってしまいます。問題には「aは0より小さい」とあるので、B(2, 9)は条件に合いません。
Q. 直線ℓがy軸の左側にあったら、答えは変わりますか？
A. 変わりません。ℓがx＝−2の位置なら、A(−2, 4)、B(−2, −1)になり、y＝ax²に代入すると−1＝4aで、同じa＝−1/4が出ます。ただし今回の図では、ℓは原点の右側にあります。
Q. 平行四辺形の面積は、いつも底辺×高さですか？
A. はい。平行四辺形の面積は、どの辺を底辺にしても、底辺×高さで求められます。座標の問題では、底辺をy軸や直線ℓのように、座標軸に平行な辺にすると、高さが座標の差で分かるので計算が楽になります。
座標平面の上にできた四角形の面積は、二次関数でよく出る形です。台形が出る問題を、対角線で三角形2つに分けて解く方法は、こちらの記事で解説しています。
まとめ
二次関数のグラフの上にできた平行四辺形の面積から、係数aを求める問題は、図形の性質と座標がつながった問題です。aを直接求めようとせず、平行四辺形の性質から決まる長さを先に出します。
今回の問題では、向かい合う辺の長さが等しいので、OC＝AB＝5と決まりました。底辺をAB、高さを直線ℓとy軸の距離kとして、5×k＝10からk＝2、つまりℓはx＝2の位置にあると分かります。そこからA(2, 4)、B(2, −1)を出し、点Bをy＝ax²に代入して、答えのa＝−1/4が決まりました。
授業の途中、Bの座標が出るところで、生徒は「ああ、そういうことですか」と声を出していました。平行四辺形の性質を図の長さに使う。この見方ができると、最初は難しく見える二次関数の問題も、順番に進められます。もう一度、自分の手で図を書いて解いてみてください。
この問題のポイント
- 平行四辺形の向かい合う辺は、平行で、長さが等しい。OC＝5なので、AB＝5
- 面積は底辺×高さ。底辺AB＝5、高さ＝直線ℓとy軸の距離k。5×k＝10からk＝2
- 直線ℓはx＝2。y＝x²に代入してA(2, 4)、Aから5下がってB(2, −1)
- 点Bはy＝ax²の上にあるので、−1＝4aからa＝−1/4
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