放物線と直線が2点で交わり、その直線がy軸を通る点で「1:2」に分かれている。中3数学の二次関数で、高校入試にもよく出る形の問題です。比が書いてあるのは分かるのに、それを座標の式にどうつなげればいいのかで手が止まりやすい問題でもあります。
この記事は、授業で先生と生徒が一緒に解いた1問をもとにしています。生徒は、図に比を書きこんで補助線を引こうとするところまでは自分で進めていました。
この記事では、比をx座標の比に直すところから始めて、文字tのおき方、交点の方程式、因数分解の形との見比べ、座標の計算まで、授業と同じ順番で進めます。最後に、授業では扱っていない検算と別の解き方も付けておきます。
先に動画で確認したい方はこちらからどうぞ。
今回の問題と、授業で止まっていたところ
今回いっしょに考えるのは、次の問題です。
> 下の図3で、OC＝2、AC:CB＝1:2のとき、2点A、Bの座標を求めよ。
図は文章で説明しておきます。原点Oを通る放物線y＝½x²があり、その上に左側の点Aと右側の点Bがあります。AとBを通る直線は、y軸と点Cで交わっています。OC＝2なので、Cはy軸の上で原点から2の高さにある点です。直線の上には、左からA、C、Bの順に並んでいて、ACとCBの長さの比が1:2です。
先生が「この問題はどうやって解こうとしました？」と聞くと、生徒はこう答えました。
1対2と2を書き込んで、そこから補助線を引こうとしたのは覚えてます
あっ、いいですね。じゃあ、一緒にやっていきましょうか
比の1:2とOC＝2を図に書きこむ。補助線を引こうとする。どちらも正しい出発点です。止まったのは、その補助線から何を読み取るのか、というところでした。
つまずきの正体：斜めの比のままでは座標につながらない
ACもCBも、斜めに引かれた直線ABの一部です。斜めの線分の長さを座標から出そうとすると、横の差とたての差の両方を使うことになり、計算が重くなります。しかも、AとBの座標はまだ分かっていません。
先生はここで、補助線の引き方を決めました。「ここをy軸に平行、要はx軸に垂線を引いてあげると」「ここにも引いてあげようか」。AとBから、それぞれx軸に垂線を下ろします。
先生が「まだ相似は習ってないよね？」と聞くと、生徒は「あっ、やってます」と答えました。そこで先生は、相似で習う形を使って説明しています。
平行線で3つ切られているっていう形になるじゃん
Aから下ろした垂線、y軸、Bから下ろした垂線。この3本はどれもy軸に平行です。この3本の平行線が、直線ABとx軸を同じように切っています。
すると、直線AB上の比AC:CB＝1:2は、x軸の上の比にそのまま写ります。先生の言葉では「その時ってx座標に落とし込むと」「ここも1対2になるって知ってる？」。生徒は「うんうんうん、やったことある、確かに」と思い出していました。
なので、この長さを求めるなんてことは、やんなくてよくて
斜めの比は、x座標の比に直して使う。これが今回の問題の中心です。
x軸の上なら、長さは原点からの距離、つまりx座標の大きさで表せます。ACとCBの長さを直接求める必要はなくなります。
ステップ1：Aのx座標を−t、Bのx座標を2tとおく
x座標の比が1:2だと分かったので、次は文字でおきます。先生は「今回Aの座標を−tとかで置いとこうか」と言いました。Aはy軸より左にあるので、x座標は負の数です。そこで、t＞0として、Aのx座標を−tとします。
先生が「そうすると、ここBのx座標はなんて表せる？」と聞くと、生徒は最初「tで」と答えました。先生はこう続けています。「Oからここが1じゃん」「じゃあ、こっち2tいかないといけなくない？」。
原点からAの真下までの長さがtで、これが比の1にあたります。比の2にあたる原点からBの真下までの長さは、その2倍の2tです。生徒も「ほんとだ」「2tですね」と答えました。
Aのx座標＝−t、Bのx座標＝2t（t＞0）
ここで大事なのは、符号です。Aは左側なので−t、Bは右側なので＋2tです。長さの比は1:2ですが、座標としては向きがちがいます。
授業の後半で、先生は「tは0より大きいっていう定義に一応しとくから」「絶対値で表してるからね」とも言っています。tは長さとして使っている文字なので、正の数です。この約束が、最後にtの値を1つに決めるところで効いてきます。
ステップ2：直線の式をy＝ax＋2とおき、交点の方程式を作る
ここから、AとBの座標を求めます。先生は放物線の式を確かめてから、直線の式をおきました。
一次関数の式をy＝ax＋2って置いとこうか
切片が2なのは、OC＝2だからです。先生も「ここOCが2だから、切片2って分かるよね」と確かめています。傾きはまだ分からないので、aのままにしておきます。
直線AB：y＝ax＋2
AとBは、放物線と直線の両方の上にある点です。先生は「傾き、これで求めてもいいんだけれど」と言いながら、ここでは代入法を選びました。2つの式のyが等しいとおきます。
½x²＝ax＋2
先生が「½x²がax＋2にならん？」と聞くと、生徒は「あー、はい。なります」と答えています。
先生は続けて「これ移項して2倍してあげると」と言いました。右側を左側へ移し、両辺を2倍して分数をなくします。
½x²−ax−2＝0
x²−2ax−4＝0
この方程式の解が、放物線と直線の交点のx座標です。つまり、AとBのx座標である−tと2tが、この方程式の2つの解になっています。
ステップ3：因数分解の形と見比べて、t＝√2を出す
ここが、授業の中で一番の山場です。先生はこう言いました。
これ因数分解、もししたとしたらだよ
これ−tと2tが答えにならないといけないじゃん
解が−tと2tになる二次方程式なら、因数分解した形は決まっています。先生の言葉では「x＋t」「x−2tにならん？」「＝0になる」。
(x＋t)(x−2t)＝0
先生は「2tと−tになるでしょ？」と確かめてから、「これ展開してみようか」と続けました。
(x＋t)(x−2t)
＝x²−2tx＋tx−2t²
＝x²−tx−2t²
先生の言葉では「t−2tだから、−tx」「かけると、−2t²」。
これで、同じ方程式が2つの形で書けました。
x²−2ax−4＝0
x²−tx−2t²＝0
どちらも左側がx²から始まっているので、定数項どうしが等しくなるはずです。先生は「この−2t²が−4になればいけると思わない？」と言っています。
−2t²＝−4
2t²＝4
t²＝2
先生の言葉では「2t²が4になるよっていうのが分かるから」「t²が2になると」。t²＝2をみたすtは√2と−√2ですが、ステップ1でt＞0と決めてあります。先生も「プラスマイナスの、マイナス抜いて」「√2になるっていうのが答え」と言っています。
t＝√2
解が分かっている方程式は、因数分解の形を書いて係数を見比べる。直線の傾きaを先に求めなくても、定数項だけでtが決まるのがこの解き方の良いところです。
ステップ4：AとBの座標を計算する
tが分かったので、座標を出します。
まずAです。先生は「xの座標Aのところは、−√2かな？」と言いました。y座標は、y＝½x²にx＝−√2を代入します。先生の言葉では「√2の2乗は2だから、1かな？」。
y＝½×(−√2)²
＝½×2
＝1
A(−√2, 1)
次にBです。x座標は2t＝2√2です。先生は「y＝½かける2√2の2乗になるよね」と言い、続けて計算しました。
y＝½×(2√2)²
＝½×4×2
＝4
(2√2)²は、2²×(√2)²＝4×2です。先生も「½かける4かける2になると」「約分するからy座標は4ですよってことが分かる」と言っています。
B(2√2, 4)
答え：A(−√2, 1)、B(2√2, 4)
先生が「合ってるかな？」と聞くと、生徒は「なるほど、合ってる気がします」と答えました。
答えの検算：直線とy軸の交点と、比を確かめる
ここは授業では扱っていない補足です。出した答えが問題の条件に合っているかを確かめます。
ステップ3では定数項だけを見比べましたが、xの係数も見比べると、直線の傾きが分かります。
−2a＝−t
a＝t÷2＝√2÷2
直線AB：y＝(√2/2)x＋2
この直線にAのx座標−√2を入れると、(√2/2)×(−√2)＝−1なので、y＝−1＋2＝1です。Aのy座標1と一致します。
Bのx座標2√2を入れると、(√2/2)×2√2＝2なので、y＝2＋2＝4です。Bのy座標4と一致します。
AもBも、放物線と直線の両方の上にあることが確かめられました。直線の切片は2なので、y軸との交点Cは(0, 2)で、OC＝2もみたしています。
最後に比です。x軸の上で、Aの真下から原点までの長さは√2、原点からBの真下までの長さは2√2です。
√2：2√2＝1:2
AC:CB＝1:2の条件どおりになりました。
よくあるつまずき
授業の中で出てきた言葉をもとに、この問題で手が止まりやすいところをまとめます。
- ACとCBの長さを直接求めようとする。先生も「この長さを求めるなんてことは、やんなくてよくて」と言っていました。y軸に平行な線を引いて、x座標の比に直します
- Bのx座標をtにしてしまう。授業でも生徒が最初に「tで」と答え、先生が「こっち2tいかないといけなくない？」と返していました。比の1がtなら、比の2は2tです
- Aのx座標の符号を落とす。Aはy軸の左側なので−tです。tのままにすると、2つの解が同じ符号になってしまいます
- 切片を求めずにaとbの2文字でおいてしまう。OC＝2から、切片は2と分かっています。先生も「切片2って分かるよね」と確かめていました
- ½x²＝ax＋2を2倍し忘れる。分数が残ったままだと、因数分解の形と見比べにくくなります
- t＝−√2も答えにしてしまう。t＞0とおいたので、√2だけを使います
もう1つ気をつけたいのが、展開の計算です。(x＋t)(x−2t)のxの係数は、−2t＋tで−tです。ここをまちがえると、検算で傾きを出すときに合わなくなります。
よくある質問
ここは授業では扱っていない補足をふくみます。
Q. 因数分解の形を使わずに解く方法はありますか？
A. A、C、Bが同じ直線の上にあることを使う方法があります。Aの座標は(−t, ½t²)、Bの座標は(2t, 2t²)、Cの座標は(0, 2)です。
ACの傾きとCBの傾きが等しいので、式にします。
(2−½t²)÷t＝(2t²−2)÷(2t)
両辺に2tをかけます。
4−t²＝2t²−2
3t²＝6
t²＝2
同じt²＝2が出てきます。授業の方法なら傾きを使わずに定数項だけで決まるので、計算は短くなります。
Q. なぜx座標の比が、斜めの線の比と同じになるのですか？
A. Aから下ろした垂線、y軸、Bから下ろした垂線の3本が平行だからです。平行な3本の線で2本の直線を切ると、切られた部分の比は等しくなります。今回は、直線ABとx軸の2本が切られているので、AC:CBとx軸の上の比が等しくなります。授業で先生が「平行線で3つ切られているっていう形」と言っていたのが、この形です。
Q. 比が1:3や2:3だったら、どうおけばいいですか？
A. 考え方は同じです。比が1:3なら、Aのx座標を−t、Bのx座標を3tとおきます。2:3なら、−2tと3tとおきます。あとは交点の方程式と、因数分解の形を見比べます。
斜めの比をx軸の上の比に直す考え方は、放物線の上の比PB:BA＝1:2からaの値を求めた問題でも使っています。そちらは垂線を下ろして相似な直角三角形を作る流れなので、あわせて読むと比の直し方が身につきます。
まとめ
放物線と直線の交点の座標を、y軸で分かれる比から求める問題は、比の扱いと二次方程式がつながった問題です。斜めの比のままでは計算しづらいので、y軸に平行な線を引き、x座標の比に直します。
今回の問題では、Aのx座標を−t、Bのx座標を2tとおき、直線をy＝ax＋2とおいてx²−2ax−4＝0を作りました。その解が−tと2tなので、(x＋t)(x−2t)＝0を展開して定数項を見比べ、t²＝2からt＝√2を出しました。答えはA(−√2, 1)、B(2√2, 4)です。
授業の最後に、先生はこうまとめています。「ここの線の長さが1対2って言われたら」「x座標に落とし込んで考えてあげると」「めちゃくちゃ分かりやすかったね」。補助線を引こうとした生徒の出発点は正しかったのです。あとは、その補助線でx座標の比を読む。もう一度、自分の手で図に線を引いて解いてみてください。
この問題のポイント
- 斜めの比AC:CB＝1:2は、y軸に平行な線を引いてx座標の比1:2に直す
- Aのx座標を−t、Bのx座標を2t（t＞0）とおく。Aは左側なので符号に注意
- OC＝2から、直線はy＝ax＋2。½x²＝ax＋2を整理してx²−2ax−4＝0
- 解が−tと2tなので(x＋t)(x−2t)＝0。展開してx²−tx−2t²と見比べ、−2t²＝−4からt＝√2
- 答えはA(−√2, 1)、B(2√2, 4)
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