正方形を直線が横切って、その一部が台形になっている。中2数学の一次関数で、高校入試にもよく出る図形の問題です。(1)の「点を通るときのbの値」は解けるのに、(2)や(3)で面積が出てくると、どこから手をつければいいのか分からなくなる人は少なくありません。
この記事は、授業で先生と生徒が一緒に解いた1問をもとにしています。生徒は(1)を自分で解いたうえで、「2番からちょっと苦戦してて」と話していました。
この記事では、(1)で直線の式を決めるところから始めて、(2)で点Eと点Fの座標を出して台形の面積を求めるまで、そして(3)で面積からbの値を逆算するところまで、授業と同じ順番で進めます。最後に、授業では扱っていない検算も付けておきます。
先に動画で確認したい方はこちらからどうぞ。
今回の問題と、授業で止まっていたところ
今回いっしょに考えるのは、次の問題です。
> 4点A(3,3)、B(−3,3)、C(−3,−3)、D(3,−3)を頂点とする正方形ABCDがある。直線y＝2x＋bが辺ABと辺CDに交わる点を、それぞれE、Fとする。
> (1) 直線y＝2x＋bが点(1,3)を通るとき、bの値を求めよ。
> (2) b＝2のとき、四角形AEFDの面積を求めよ。
> (3) 四角形AEFDの面積が12になるとき、bの値を求めよ。
図は文章で説明しておきます。原点を中心に、1辺が6の正方形があります。上の辺がAB、下の辺がCDです。右肩上がりの直線が、上の辺ABの上の点Eと、下の辺CDの上の点Fを通っています。右側のA、D、F、Eを結んだ四角形AEFDが、面積を求める台形です。
(1)について、先生が「どういう風に解いてみた？」と聞くと、生徒はこう答えました。
このy＝2x＋bに、それぞれ1と3の座標を代入して、bの値を求めました
そうですね。このy＝2x＋bのxに、この1を代入して、yに3を代入して、方程式を解けばいけるね
3＝2×1＋b を解いて、b＝1。ここまでは順調でした。止まったのは(2)です。
つまずきの正体：b＝2という数字を、どこに使うのかが見えない
(2)の「b＝2のとき」を見て、生徒は最初にどう思ったのか。先生が「この問題見たときに、なんかどんなふうに思った？」と聞くと、こう答えています。
b＝2をどこかに代入するのかなみたいな
おー、このb＝2って何を表してるんだろう？
y＝2x＋bのbの値が2ですか？
「どこかに代入する」という感覚は、間違っていません。止まったのは、その「どこか」がどこなのかが見えていなかったところです。
先生はここで、b＝2が何を決める数字なのかを言葉にしました。「そこに代入したときに、ここの一次関数の方程式がわかるわけでしょ？」「そのときに、点Eの座標と点Fの座標がわかることになるんだ」。
b＝2は、直線の式を決める数字です。直線が決まれば、正方形の辺との交点E、Fも決まります。E、Fが決まれば、台形の上底と下底が出せます。先生は「台形の面積が求まるっていう流れで解いていきたいと思います」と、この道すじを先に見せていました。
(1)ではbを求める側でした。(2)ではbをもらう側です。数字をもらう側か求める側かを見分けるだけで、次に何をするかが決まります。
ステップ1：b＝2を代入して、直線の式y＝2x＋2を決める
b＝2をy＝2x＋bに入れます。
y＝2x＋2
先生も「今回、y＝2x＋bが2だから、y＝2x＋2として計算していくと」と、まず式を書き直していました。
ステップ2：点Eのx座標を出して、AEの長さを求める
正方形の頂点は、A(3,3)、B(−3,3)、C(−3,−3)、D(3,−3)です。上の辺ABはずっとy座標が3なので、先生はこう確かめています。
ここのAとBはずっとy座標3だよね
ってことは、ここの点Eのy座標は3になるってことわかる？
はい、わかります
点Eは直線y＝2x＋2の上にあるので、y＝3を代入します。
3＝2x＋2
2x＝1
x＝1/2
点Eは(1/2, 3)です。AEの長さは、Aのx座標からEのx座標を引いて求めます。AとEはy座標が同じなので、横の差だけを見ればよいからです。
AE＝3−1/2＝5/2
ステップ3：点Fのx座標を出して、FDの長さを求める
次は点Fです。下の辺CDはy座標が−3なので、点Fのy座標も−3です。先生は「なぜかというと、Cのy座標が−3、Dのy座標が−3だから」と理由を言っていました。
y＝2x＋2にy＝−3を代入します。
−3＝2x＋2
2x＝−5
x＝−5/2
点Fは(−5/2, −3)です。FDの長さは、Dのx座標からFのx座標を引きます。
FD＝3−(−5/2)＝11/2
ステップ4：台形の面積の公式に入れる
先生が「台形になってんの分かる？」と聞き、「ここの上底と下底は平行になってるよね」と確かめています。ADは正方形の辺なので、AEとFDに対して90度です。高さはAD＝3−(−3)＝6です。
台形の面積は、(上底＋下底)×高さ×1/2です。先生が公式を聞くと、生徒もすぐに答えていました。
(5/2＋11/2)×6×1/2
＝8×6×1/2
＝24
(2)の答え：24
先生は「ってことで面積は24になるんじゃないかなと思うんだけど、合ってる？」と確かめ、生徒は「合ってます」と答えました。
(3)を解く：面積から逆算して、bの値を求める
ここからが本題です。先生は(3)をこう説明しました。
今度は、逆算で、面積からこのbの値を求めていくってことをやっていくんだ
だから、2番のやり方を逆から解いていけばいい
先生が「言われてもいまいちピンとこないよね」と言うと、生徒は「はい」と答え、そこから一緒に解いていきました。
ポイントは、(2)でb＝2を入れていた場所に、bを数字にせず、そのまま使うことです。先生の言葉では「この2x＋bのまんまで、点Eの座標と点Fの座標を求めていこう」。
点Eのx座標をbで表す
点Eのy座標は3のままです。先生も「Eのy座標は3のまま変わんないじゃん」と言っています。
3＝2x＋b
−2x＝b−3
x＝(3−b)/2
点Eは((3−b)/2, 3)です。先生は途中で、マイナスがあるとめんどくさいので符号を変えて、「2分の3−b」としていました。
点Fのx座標をbで表す
点Fのy座標も−3のままです。
−3＝2x＋b
−2x＝b＋3
x＝−(b＋3)/2
点Fは(−(b＋3)/2, −3)です。
AEとFDの長さをbで表す
(2)と同じ引き算をします。先生も「このbをそのまま使ってってあげればOKなんだ」と言っていました。
AE＝3−(3−b)/2＝(3＋b)/2
FD＝3−(−(b＋3)/2)＝(9＋b)/2
面積の式を作って、方程式を解く
AEが上底、FDが下底、高さは6のままです。先生も「高さは6のまま変わんないよね」と確かめています。
(3＋b)/2＋(9＋b)/2 を足すと、(12＋2b)/2 になります。これに高さ6をかけて1/2をかけると、面積が出ます。
{(12＋2b)/2}×6×1/2＝12
左側を整理すると、3×(12＋2b)/2＝12 です。両辺を3で割ります。先生の言葉では「これ、両辺を3で割ってあげれば、これ4になる」。
(12＋2b)/2＝4
左側の分母の2で割ると、6＋b＝4 です。
b＝−2
授業では、この途中で先生が「2bが4になる」と話している場面があります。板書は(12＋2b)/2＝4で、2bそのものが4になるわけではありません。ここは言い間違いなので、板書の式のほうを見てください。
(3)の答え：b＝−2
先生が「答え合ってる？」と聞くと、生徒は「はい、合ってます」と答えました。
答えの検算：b＝−2を入れて、面積が12になるか確かめる
ここは授業では扱っていない補足です。b＝−2を、AEとFDの式に入れます。
AE＝(3＋(−2))/2＝1/2
FD＝(9＋(−2))/2＝7/2
面積は、(1/2＋7/2)×6×1/2＝4×6×1/2＝12 です。問題の条件と一致しました。
もう1つ確かめておきたいのが、点E、Fが正方形の辺の上にあるかどうかです。b＝−2のとき、点Eのx座標は(3−(−2))/2＝5/2、点Fのx座標は−(−2＋3)/2＝−1/2です。どちらも−3以上3以下なので、辺ABと辺CDの上に収まっています。
よくあるつまずき
授業のやり取りと、この型の問題でよくある間違いをまとめます。
- b＝2という数字を、どこに入れるのか決められない。b＝2は直線の式y＝2x＋bのbに入れて、まず直線の式を決めます
- 点Eのy座標を、直線の式から求めようとする。点Eは辺ABの上にあるので、y座標は3だと正方形から分かります。先生も「ずっとy座標3だよね」と確かめていました
- AEの長さを、点Eのx座標そのものだと思ってしまう。AEは、Aのx座標からEのx座標を引いた差です
- 点Fのx座標の符号を落とす。(2)では−5/2です。FD＝3−(−5/2)のカッコを外すと、3＋5/2＝11/2になります
- (3)で、bを数字にしないまま計算するのをためらう。先生は「このbをそのまま使ってってあげればOKなんだ」と説明していました
- 台形の面積の式で、1/2をかけ忘れる
よくある質問
ここは授業では扱っていない補足をふくみます。
Q. (3)で、面積から先にbを求める方法はありますか？
A. 面積の式を作るには、上底AEと下底FDの長さが要り、その長さはE、Fの座標から出ます。そのため、授業のように、先に座標をbで表す流れで進めます。
Q. AEの長さを出すとき、なぜ横の差だけを見ればいいのですか？
A. AとEは、どちらも辺ABの上にあって、y座標が同じ3だからです。y座標が同じ2点の距離は、x座標の差で出せます。FDも、FとDのy座標がどちらも−3なので、同じ考え方です。
Q. 他の一次関数の問題でも、同じ考え方は使えますか？
A. 使えます。文字をもらう側か、求める側かを見分けて、もらった数字は直線の式に入れる、求めたい文字は式の中に残す、という順番は同じです。同じ一次関数の文章題として、2つの水そうの水量を式にする問題の記事もあります。
まとめ
正方形を直線が切る問題は、直線の式が決まれば交点が決まり、交点が決まれば台形の上底と下底が決まる、という順番の問題です。(2)のように文字の値がもらえるときは、直線の式を先に決めます。(3)のように面積がもらえるときは、(2)と同じ計算に文字をそのまま残して、面積の式を方程式にします。
今回の問題では、(2)でb＝2を入れてAE＝5/2、FD＝11/2から面積24を出しました。(3)では、AE＝(3＋b)/2、FD＝(9＋b)/2を台形の面積の式に入れ、(12＋2b)/2＝4から、b＝−2を求めました。
授業の最後に、先生は生徒に「答え合ってる？」と確かめていました。(2)で動かした手順を、もう一度(3)で逆向きに使うだけです。もう一度、自分の手で、b＝2のときと同じ手順で書いてから、bのままの式にしてみてください。
この問題のポイント
- b＝2のように文字の値がもらえたら、まず直線の式に入れて式を決める
- 点Eのy座標は3、点Fのy座標は−3（正方形の辺のy座標）。直線の式に代入してx座標を出す
- AE＝Aのx座標−Eのx座標、FD＝Dのx座標−Fのx座標。高さAD＝6
- (3)は(2)と同じ計算で、bを数字にせず文字のまま使う
- AE＝(3＋b)/2、FD＝(9＋b)/2。面積12の式は(12＋2b)/2＝4で、b＝−2
図形の問題で面積が出てきて、一次関数とどうつなげればいいか分からなかった。文字をおいたあと、どう進めればいいか分からなかった。そんなつまずきは、Laf先生の公式LINEから気軽に質問してください。オンライン学習塾Lafでは、無料のオンライン授業も開催しています。「わからない」を「わかった！」に、一緒に変えていきましょう。
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