【中3数学】二次関数の動点｜三角形の面積yをxの式で表す方法8 min read

正方形の上を点が動いて、その点がつくる三角形の面積を、時間xの式で表す。中3数学の二次関数でよく出る動点の問題です。問題文は読めるのに、「yをxの式で表しなさい」と言われた瞬間に、鉛筆が止まってしまう人は少なくありません。

この記事は、授業で先生と生徒が一緒に解いた1問をもとにしています。生徒は、授業の最初にこう話しました。

先生は続けて「コツさえつかめばめちゃくちゃ簡単に解けるから」と話し、「一緒にやっていこうか」と声をかけています。この記事では、授業と同じ順番で、xの変域、点Pが辺AB上にいるときの式、辺BC上に来たときの式、グラフ、面積が6cm²になる時間まで進めます。最後に、授業では扱っていない検算と、よくある質問も付けておきます。

先に動画で確認したい方はこちらからどうぞ。

 

今回の問題と、授業で止まっていたところ

今回いっしょに考えるのは、次の問題です。

> 1辺6cmの正方形ABCDがあり，点PはAを出発し，辺AB，BC上を秒速2cmでCまで動く。点Qは点Pと同時にBを出発し，辺BC上を秒速1cmでCまで動く。点PがAを出発してからx秒後の△APQの面積をycm²とするとき，次の問いに答えなさい。
>
> (1) 次の①，②のとき，xの変域を求め，yをxの式で表しなさい。
>
> ① 点Pが辺AB上を動くとき
>
> ② 点Pが辺BC上を動くとき
>
> (2) 点PがAからCまで動くときのxとyの関係をグラフで表しなさい。
>
> (3) △APQの面積が6cm²になるのは，点PがAを出発してから何秒後と何秒後ですか。

図は文章で説明しておきます。正方形ABCDは、左上がA、右上がD、左下がB、右下がCです。点Pは左の辺ABを上から下へ、点Qは下の辺BCを左から右へ動きます。三角形APQは、Aと、2点P、Qを結んだ三角形です。(2)には、xとyの関係を表すグラフ用の方眼が付いています。

授業で生徒が止まったのは、(1)の「yをxの式で表す」ところでした。xの変域は、生徒が自分で考えて出せています。つまり、問題の読み方は分かっているのに、式にする入口で止まっていたということです。

 

つまずきの入口：式にする前に、図へ長さを書き込む

動点の問題は、頭の中だけで式にしようとすると、何をxで表せばいいのか分からなくなりやすい問題です。先生が最初にやったのは、式を立てることではなく、図に書き込むことでした（動画の2:07ごろ）。

先生は、点Pの速さを生徒にたずねました。

続けて、1辺の長さも図に書きます。ここも6cm、ABも6cmです。点Pの速さ、点Qの速さ、辺の長さ。文章の中にある情報を、まず図の上に置いていきます。

あとで式を立てるときに使う長さは、全部ここから出てきます。だから、yの式を立てるまでの授業の6分ほどは、図と変域の整理に使っています。式を立てる前に、図に情報を置く。これが授業で最初に見せた入口でした。

 

ステップ1：xの変域を、点Pの位置で2つに分ける

(1)は、点Pがどこにいるかで、場合が2つに分かれます。①は点Pが辺AB上にいるとき、②は辺BC上にいるときです。

まず①です。点PはAから出発するので、x＝0のときがスタートです。ではPがBに着くのは何秒後でしょうか。

ABは6cmで、点Pの速さは秒速2cmです。6÷2＝3なので、3秒後にBへ着きます。

0≦x≦3（点Pが辺AB上にいるとき）

次に②です。点PがCに着くのは何秒後かを、生徒はこう説明しました。

AからBまでが6cm、BからCまでが6cmで、Aから数えて12cmです。12÷2＝6なので、6秒後です。②はBから始まるので、3秒後からです。

3≦x≦6（点Pが辺BC上にいるとき）

ここまでで、点Pは3秒後に角を曲がると分かりました。この3秒が、あとで式が切り替わる境目になります。

 

ステップ2：点Pが辺AB上のとき、底辺と高さを決めてy＝x²を出す

①の三角形APQの面積を求めます。先生は「三角形の面積ってどういう風に求めるんだっけ？」と聞き、生徒は「底辺×高さ×2分の1」と答えました。次は、この三角形のどの辺を底辺にするかです。

底辺はAP、高さはBQです。この2つの長さをxで表せば、面積が出ます。ここで使うのが、さっき図に書き込んだ速さです。

点Pは秒速2cmで動くので、x秒後のAPの長さは2x cmです。点Qは秒速1cmなので、BQの長さはx cmです。

面積は、底辺×高さ×2分の1です。

先生は、ここで手が止まりやすい理由も話していました。「面積をyと置くとか言われるとちょっとてんぱるじゃん」。でも、「単純に三角形の面積のことをyって置いてるだけ」で、底辺×高さ×2分の1が分かれば求まります。「もう小学生の算数レベル」になる、ということです。

y＝2x×x×1/2

y＝x²

生徒も「x²？」と答えて、先生は「その通りできたじゃん」と返しました。点Pが辺AB上にいるとき、面積はy＝x²と表せます。

 

ステップ3：点Pが辺BC上のとき、「縦の6cm」を引いてPQを出す

②です。ここが、この問題でいちばん難しいところです。先生も「これがちょっと難しいんだ」と話しています。

三角形APQの形が変わります。点PがBC上に来ると、Pは点Qと同じ辺の上にいます。底辺はPQ、高さはAからBCまでの6cmです。ABがそのまま高さになります。

あとはPQの長さです。先生は、BQからBPを引く方法を使いました。BQは、さっきと同じxです。ではBPはどう出すか。

点Pが動いた長さは、Aから数えて全部で2xです。そのうち、縦のAB（6cm）を引いた残りが、BからPまでのBPです。

BP＝2x−6

PQは、BQからBPを引いて出します。

PQ＝x−(2x−6)

PQ＝−x＋6

面積は、底辺PQ、高さ6cm、×1/2です。生徒は「6×(−x＋6)×2分の1」と式を立てました。

y＝6×(−x＋6)×1/2

y＝−3x＋18

先生は、ここで「ここがトラップだから、気をつけてね」と注意しています（動画の10:27ごろ）。縦の6cmを引くのを忘れる子が結構多い、という話でした。

 

ステップ4：(2)のグラフをかく

(2)は、点PがAからCまで動くあいだの、xとyのグラフをかく問題です。式が2つあるので、グラフも2つの部分に分かれます。

先生は、まず0≦x≦3の部分から始めました。式はy＝x²です。

x＝3のとき、y＝9です。ほかに、x＝1のとき1、x＝2のとき4も取ります。

この3点を通るなめらかな曲線（放物線の一部）をかきます。

次に3≦x≦6の部分です。式はy＝−3x＋18で、二乗がないので一次関数です。先生は「二乗があったら二次関数だけれど、二乗ないから一次関数だね」と確かめています。一次関数のグラフは直線なので、最初と最後の2点を結べば済みます。

x＝3のときy＝9、x＝6のときy＝0です。点(3, 9)と点(6, 0)を直線で結びます。

x＝6でy＝0になる理由も、先生は図で確かめました。6秒後には点PもQもCにいて、2点が重なるので、三角形ができません。面積は0です。

 

ステップ5：(3)面積が6cm²になる時間を、2つの式に代入して求める

(3)は、面積が6cm²になるのが何秒後と何秒後か、という問題です。先生は問題文を読んで、すぐ気づきました。

グラフで見ると、y＝6の横線は、山の左側と右側の2か所で交わります。先生は「行きと帰りで1回ずつありそうだなっていうのは想像つかない？」と言っています。

あとは、式に代入するだけです。まず、0≦x≦3の式y＝x²に、y＝6を入れます。

6＝x²

x＝±√6

xは0秒以上3秒以下なので、マイナスはありえません。先生も「マイナスはありえないよね」と確かめています。√6は約2.4なので、3秒以内に収まっています。

x＝√6

次に、3≦x≦6の式y＝−3x＋18に、y＝6を入れます。

6＝−3x＋18

3x＝18−6

3x＝12

x＝4

x＝4は3以上6以下に入っています。

答え：√6秒後と4秒後

先生は「だから答えは√6秒後と4秒後って書いてあげればいいかな」と話し、生徒は「できました」と答えました。答えは2つです。1つだけで終わらないように、問題文の「何秒後と何秒後ですか」を最後にもう一度読んでおきましょう。

 

答えの検算：図の長さで、面積が6cm²になるか確かめる

ここは授業では扱っていない補足です。出した2つの時間で、本当に面積が6cm²になるかを、図の長さで確かめます。

x＝√6のとき、点Pは辺AB上にいます（√6は約2.4で3より小さいため）。

AP＝2×√6＝2√6

BQ＝√6

面積＝2√6×√6×1/2＝6

x＝4のとき、4は3より大きいので、点Pは辺BC上にいます。Pが動いた長さは、2×4＝8cmです。そのうち縦の6cmを引くと、BPは8−6＝2cmです。点Qは、Bから4cmの位置にいます。

PQ＝4−2＝2

面積＝2×6×1/2＝6

どちらも、面積6cm²になりました。√6秒後と4秒後で、答えは合っています。

 

よくあるつまずき

授業の流れから、この問題で手が止まりやすいところをまとめます。授業で実際に出たのは、次の3つです。

• yをxの式で表すところで手が止まる。授業の最初に、生徒が「式にするのが難しくて」と話しました。先生が最初にやったのは、文章の情報（速さ・辺の長さ）を図に書き込むことでした
• 点Pが辺BC上に来たあとの、BPの長さを出せない。先生は「ここがトラップだから、気をつけてね」と話し、縦の6cmを引く場面を、わざわざ取り上げていました
• 一次関数のグラフは原点を通る、と思ってしまう。授業では、生徒が「原点を通る」と答えました。先生は「原点はね、通らなくてもいいんだけれど」と返して、直線のグラフになることを確かめています

次の3つは、授業では出ませんでしたが、この問題でよく起きるつまずきです。

• xの変域を書かずに、式だけ書いてしまう。点Pは3秒で角を曲がるので、0≦x≦3と3≦x≦6で別の式になります。変域がないと、どの式を使うのか決められません
• PQを「x−2x」のように、BP＝2xと考えてしまう。2xはAから数えた長さです。BからPまでの長さは、縦の6cmを引いた2x−6です
• (3)で、x＝√6だけを書いて終わる。問題文は「何秒後と何秒後」なので、答えは2つです

 

よくある質問

ここは授業では扱っていない補足をふくみます。

Q. 二次関数の問題なのに、y＝−3x＋18は一次関数ですか？

A. はい、一次関数です。この問題は、点Pが辺AB上にいるあいだはy＝x²（二次関数）で、辺BC上に来るとy＝−3x＋18（一次関数）になります。授業でも、先生が「二乗ないから一次関数だね」と確かめていました。

Q. 変域は、等号を付けるのと付けないのと、どちらが正しいですか？

A. 今回の問題は、3秒のときy＝9で、どちらの式でも同じ値になります。そのため、0≦x≦3、3≦x≦6のように、境目の3を両方に含めても、答えは変わりません。問題の指示や、学校の書き方に合わせてください。

Q. (3)で、x＝−√6は答えになりませんか？

A. なりません。xは点Pが出発してからの時間なので、マイナスにはなりません。授業でも、先生が「0秒以上3秒以下だから、マイナスはありえないよね」と確かめています。

Q. y＝−3x＋18を先に使って、x＝4が出たら、もう1つの式は使わなくていいですか？

A. 使います。問題は「何秒後と何秒後」で、答えが2つあります。点Pが辺ABにいるあいだと、辺BCに来たあとで、別の式になるからです。

動く量を時間xの式で表して、「何分後」を求める問題は、ほかにもあります。水槽の水量を2本の直線の式で表して、等しくなる時間を求める問題は、こちらの記事で解説しています。

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まとめ

動点の問題は、「式を立てる」前に、図に情報を書き込むところから始まります。点の速さと、辺の長さを図に置けば、動いた長さは「速さ×時間」でxを使って表せます。

今回の問題では、点Pが3秒後に角を曲がるので、0≦x≦3と3≦x≦6で式が分かれました。辺AB上ではAP＝2x、BQ＝xからy＝x²。辺BC上では、縦の6cmを引いてBP＝2x−6、PQ＝−x＋6からy＝−3x＋18です。(3)は、それぞれの式にy＝6を入れて、√6秒後と4秒後が出ました。

授業の最後に、先生は「今日今一緒に解いて、分かった気になるじゃん」「大切なのは明日解けるかなので、きっちり解き直して」と話していました。もう一度、図に情報を書き込むところから、自分の手で解いてみてください。

動点の問題で、式にするところから手が止まってしまった。そんなつまずきは、Laf先生の公式LINEから気軽に質問してください。オンライン学習塾Lafでは、無料のオンライン授業も開催しています。「わからない」を「わかった！」に、一緒に変えていきましょう。

 

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