二次関数のグラフが3本あって、y軸に平行な直線x＝pが、そのグラフと交わっている。そこにできる台形と三角形の面積が等しくなるとき、pはいくつか。中3数学の二次関数で、高校入試にも出る形の問題です。2つの図形の面積を、それぞれ最後まで計算しようとすると、式が長くなりやすい問題でもあります。
この記事は、授業で先生と生徒が一緒に解いた1問をもとにしています。生徒は(2)を自分で解き進めていましたが、あとで「めっちゃ遠回りして解いてました」と話しました。先生が見せたのは、2つの図形の「高さ」に注目して、式を1本にまとめる見方です。
この記事では、まず(1)でa、b、cの値を決め、(2)で面積の式を立ててpを求めます。最後に、授業では扱っていない検算と、よくある質問も付けておきます。
先に動画で確認したい方はこちらからどうぞ。
今回の問題と、授業で遠回りになっていたところ
今回いっしょに考えるのは、次の問題です。
> 次の図のように、関数y＝ax²、関数y＝bx²、関数y＝cx²がある。原点をO、点(0, 1)をAとし、x＝pとy＝ax²、y＝bx²、y＝cx²との交点をそれぞれB、C、Dとする。また、以下の条件を全て満たすものとする。
>
> 条件1：y＝ax²は点(2, 2)を通る
>
> 条件2：y＝bx²、y＝cx²のグラフで、x＝2に対応するyの値はy＝cx²の方がy＝bx²の3倍である
>
> 条件3：b−c＝4である
>
> 条件4：pは0ではないものとする
>
> (1) a、b、cの値は以下のとおりである。（解答欄はa、b、cの3つ）
>
> (2) 台形OABCと△OCDの面積が等しくなるとき、pの値は以下のとおりである。p＝±√キ／ク
>
> （授業のスライドの問題文より。(1)(2)とも、問題文では解答欄を埋める形で、ここでは解答欄の形も書き写しました。(3)は、後の節で扱います）
図は文章で説明しておきます。点Aはy軸の上で、原点の1つ上にあります。y＝ax²は上に開いたグラフで、点Bはその上にあります。y＝bx²とy＝cx²は下に開いたグラフです。直線x＝pはy軸に平行で、上から順にB、C、Dの3点で3つのグラフと交わっています。台形OABCは原点O、点A、点B、点Cを結んだ四角形、三角形OCDは原点O、点C、点Dを結んだ三角形です。
先生は、解き始めに生徒へ、どこまで解けたかを聞きました。
ちなみに、今回の問題はどこまで解けました？
1番は解けて、(1)はいけて、(2)ももう、あの、ほとんど大丈夫かなくらい
(2)に入ったところで、先生は「この問題はどうやって解いていけばいいと思う？」とたずねます。
その、ＢＣの長さやら、ＣＤの長さを求めたり、しました
生徒は、図形の長さを求めるところまで進んでいました。ただ、そのあとの式づくりが遠回りになっていたことが、授業の後半で分かります。
つまずきの正体：2つの図形の「高さが同じ」に気づいていない
先生が(2)の説明で最初に言ったのは、解き方の手順ではなく、どこを見るかでした。
今回のポイントは、どこを見るかっていうと、2つの図形の高さが一緒ってことになります
台形OABCも、三角形OCDも、y軸から直線x＝pまでのあいだにあります。だから高さは、どちらも「y軸と直線x＝pの距離」で、同じpです。（pが負のときは、距離は−p、つまりpの絶対値になります。左右対称なので、式の形は変わりません。）面積が等しいという式をつくるとき、高さは両側に出てきて、あとで消せます。式の中で本当に比べるのは、底辺のほうだけです。
この見方に気づかないまま、2つの図形の面積をそれぞれ最後まで出そうとすると、式が重くなります。授業でも生徒が、あとでこう話しています。
なんかもうとりあえず高さがpだから、2分の5p³とかいって、なんかとんでもないことしてた感じ
それでなんか等式作ろうとしてやってたんですよ
ステップ1：(1)でa、b、cの値を決める
まず(1)です。授業では、条件を1つずつ整理して、a、b、cを決めました。
これね、一つ一つ整理していけばめちゃくちゃ簡単だと思うので
aは、y＝ax²が点(2, 2)を通る条件から決まります。生徒は「代入して」と答えました。
2＝a×2²
2＝4a
a＝1/2
bとcは、条件2（x＝2のときのyの値の関係）と、条件3（b−c＝4）を使います。まず、y＝bx²とy＝cx²にx＝2を入れると、yの値はそれぞれ4b、4cです。条件2は「y＝cx²の方がy＝bx²の3倍」なので、次の式になります。
4c＝3×4b
c＝3b
これを条件3のb−c＝4に入れます。
b−3b＝4
−2b＝4
b＝−2
c＝3×(−2)＝−6
授業では、ここで先生が自分でも引っかかった場面があります。最初は3倍の向きを逆にして、b＝6、c＝2という値を出し、それをグラフに書き込んでいて、おかしいことに気づきました。
ちょっと待って、これb＝6にならないね
これ下向きのグラフになってるから、絶対マイナスなんだよね
OK、これトラップなんで気をつけてください
b、cのグラフは下に開いています。だから、aと違って、係数はマイナスです。書き直すと、y＝−2x²とy＝−6x²になりました。(1)の答えは次のとおりです。
a＝1/2、b＝−2、c＝−6
先生は、この場面から、解くときのポイントをこう話しています。
こういうのを解くときのポイントは、既に与えられてる情報をなるべく書き込みましょう、グラフ上にね
この記事の(2)では、点Aの座標(0, 1)と、3つのグラフの式が必要になります。
ステップ2：高さが同じことを使って、面積の式を1＋BC＝DCにする
ここから(2)です。台形の面積の公式を、先生が生徒に聞きました。
台形の面積の求め方って、どういう面積の求め方だっけ？
そう、上底足す下底に高さをかけて、割る2
台形OABCの上底はOA、下底はBCです。OAの長さは、点A(0, 1)から1と分かります。
ここの長さは1って分かっているから、上底が1、足す下底がＢＣになりますね
台形の面積は、(1＋BC)×高さ×2分の1です。三角形OCDの底辺はDC、高さはさっきと同じなので、面積はDC×高さ×2分の1です。2つの面積が等しいので、式はこうなります。
(1＋BC)×高さ×2分の1＝DC×高さ×2分の1
両辺に同じ「高さ」と「2分の1」があるので、約分できます。
そしたらこれ、両辺同じ高さだから、高さ約分できて、2分の1で割ってあげれば、1足すＢＣがＤＣになるって分かる？
えぇ、ほんまや
めっちゃ簡単じゃない？
すごい、こんなに
1＋BC＝DC
面積の問題が、長さの式1本になりました。生徒が驚いたのは、このところです。
ステップ3：BCとDCの長さをpで表して、pを求める
次に、BCとDCの長さを、pを使って表します。B、C、Dは、どれも直線x＝pの上にあるので、x座標はpです。y座標は、それぞれのグラフの式にx＝pを入れると出ます。
ここのy座標は、x＝pを代入してあげると、2分の1p²になるのかな
点Bのy座標は2分の1p²、点Cのy座標は−2p²、点Dのy座標は−6p²です。BC、DCの長さは、y座標の引き算で出します。
ＢＣの長さっていうのは、どうやって求めたらいいかっていうと、2分の1p²から−2p²を引いてあげればいいから
BC＝2分の1p²−(−2p²)＝2分の5p²
DC＝−2p²−(−6p²)＝4p²
授業では、先生がDCを求めるところで「−6p²から−2p²を引いて」と言っていますが、これは引く向きが逆です（−6p²−(−2p²)＝−4p²）。長さは上の点Cから下の点Dを引くので、上の式のようになり、先生も長さは4p²と言っています。これを、ステップ2の式に入れます。
1＋2分の5p²＝4p²
移項して整理すると、こうなります。
2分の5p²−4p²＝−1
−2分の3p²＝−1
p²＝3分の2
そしたらpは平方根を考えればいいから、プラスマイナスルート3分の2になって、有理化してあげると
分母と分子に3をかけて、有理化します。
p＝±3分の√6
授業の答えは、±3分の√6です。先生が「いけた？すごい遠回りして解いてた？」と聞くと、生徒はこう答えました。
はい、めっちゃ遠回りして解いてました
先生は、このあとで、面積が同じ系の問題の考え方を、次のようにまとめています。
同じ条件は何だろう？違う条件は何だろう？じゃあこことここがイコールになればいけるな、みたいな感じでやってくとすごい分かりやすいんですよ
生徒も「本当になんかもう一瞬で、その最後のとこまでたどり着けて、ちょっと遠回りしてたなと思って」と話していました。
答え：p＝±3分の√6
これは授業で出た答えです。この問題の条件4は「pは0ではない」だけで、pの正負の制限はありません。解答欄も「p＝±√キ／ク」の形なので、±3分の√6の両方が答えです。図では直線x＝pがy軸の右側に描かれていますが、左側でも、y軸について左右対称なので同じ式になります。
(3)でも、同じ見方がそのまま使える
(3)は、直線y＝−4分の9xが、台形OABDの面積を2等分するときのpの値を求める問題です。先生は、少し考えてから、(2)と同じ形になることに気づきました。
ってことは(2)番でやったやり方がそのまま使える感じしない？
確かになります
直線y＝−4分の9xと直線x＝pの交点をRとおくと、台形OABRと三角形ORDの面積が等しい、という形になります。高さはまた同じpなので、式は1＋BR＝RDです。授業では、この式のあと、分数を消すために両辺を4倍して、pの二次方程式を解いていました。この記事では、(2)までの流れを中心にまとめています。
答えの検算：面積が本当に等しいか確かめる
ここは授業では扱っていない補足です。p²＝3分の2を、もとの面積の式に戻して確かめます。
p²＝3分の2のとき、BC＝2分の5×3分の2＝3分の5、DC＝4×3分の2＝3分の8です。
台形OABCの面積は、(1＋3分の5)×p×2分の1＝3分の8×p×2分の1です。三角形OCDの面積は、3分の8×p×2分の1です。2つとも3分の8×p×2分の1になり、等しくなりました。
BCもDCも正の長さで、C、Dの位置関係（Cが上、Dが下）とも合っています。
よくあるつまずき
授業の流れから、この問題で手が止まりやすいところをまとめます。授業で実際に起きたのは、次の2つです。
- 2つの図形の面積を、それぞれ最後まで計算してしまう。授業でも生徒が「高さがpだから、2分の5p³とかいって」と、式がp³になるところまで進んでいました。高さが同じなら、面積の式から高さを消して、底辺だけを比べられます
- b、cの符号を、グラフの向きで確かめない。授業では先生自身も、最初はプラスの値を書いてから、下向きのグラフだと気づいて直しました。下に開いたグラフでは、係数がマイナスです
次の3つは、授業では出ませんでしたが、この問題でよく起きるつまずきです。
- 台形の上底を、OAではなくOCなど別の辺にしてしまう。台形の平行な2辺は、y軸の上のOAと、直線x＝pの上のBCです。上底はOA＝1、下底はBCです
- BCやDCの長さを、y座標の引き算の向きを間違えて出す。長さは、上の点のy座標から下の点のy座標を引きます。マイナスの値を引くときは、かっこをつけると間違えにくくなります
- p²＝3分の2のあと、有理化を忘れる。√(3分の2)のままだと、分母に√が残ります。分母と分子に3をかけて、3分の√6にします
よくある質問
ここは授業では扱っていない補足をふくみます。
Q. 「高さが同じ」は、どこを見ればわかりますか？
A. 台形OABCも三角形OCDも、y軸と直線x＝pのあいだにあります。y軸と直線x＝pは平行で、その距離がpです。台形では平行な2辺（OAとBC）のあいだの距離、三角形では底辺CDに向かい合う頂点Oからの距離が、どちらもpになります。
Q. 面積をそれぞれ全部計算してから、等式にしてもいいですか？
A. 間違いではありません。授業の生徒もそうしていました。pが0でなければ、両辺を同じpと2分の1で割ると、同じ式1＋BC＝DCになります。ただ、そこまでに2分の5p³のような式を書く必要があり、計算の手間が増えます。
Q. 三角形OCDの底辺は、どの辺ですか？
A. 直線x＝pの上にあるCDです。CDはy軸に平行なので、高さを「y軸と直線x＝pの距離」p として、そのまま使えます。
Q. pは、プラスとマイナスの両方を答えますか？
A. この問題では、両方答えます。条件4は「pは0ではない」だけで、正負の制限はなく、解答欄も「p＝±√キ／ク」の形だからです。答えは、p＝±3分の√6です。ほかの問題で「pは正の数」などの条件が書いてあれば、それに合わせて選んでください。
台形の面積を、対角線で2つの三角形に分けて解く方法もあります。放物線の上に台形があって、点Pの座標を求める問題の解説は、こちらの記事にまとめています。
まとめ
二次関数のグラフの上にできた、台形と三角形の面積が等しいときのpの値を求める問題は、面積をそのまま計算すると式が長くなります。2つの図形の高さが同じことに気づくと、面積の式を長さの式1本にまとめられます。
今回の問題では、台形の上底OA＝1、下底BC、三角形の底辺DCと考えて、1＋BC＝DCの式ができました。BC＝2分の5p²、DC＝4p²を入れて、p²＝3分の2、答えは授業で出た±3分の√6です。
授業の途中、生徒は「ほんまや」と声を出し、あとから「ちょっと遠回りしてたなと思って」と話していました。面積が等しい問題では、まず2つの図形の同じところ、違うところを見る。この見方ができると、長い計算に入る前に、式を短くできます。もう一度、自分の手で図を書いて解いてみてください。
この問題のポイント
- (1)は、a＝1/2、b＝−2、c＝−6。下に開いたグラフは、係数がマイナス
- 台形OABCと三角形OCDは、y軸と直線x＝pのあいだにあるので、高さはどちらもp
- 面積が等しい式から高さと2分の1を約分して、1＋BC＝DC
- BC＝2分の5p²、DC＝4p²を入れて、p²＝3分の2、p＝±3分の√6
面積の式は立てられるのに、計算が長くなって途中で間違える。そんなつまずきは、Laf先生の公式LINEから気軽に質問してください。オンライン学習塾Lafでは、無料のオンライン授業も開催しています。「わからない」を「わかった！」に、一緒に変えていきましょう。
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