自転車で学校から図書館へ行って、そのまま家に帰る。一次関数の利用でよく出る、往復の文章題です。行きの式は作れても、帰り道になると式がずれてバツになってしまう人は少なくありません。
この記事は、授業で先生と生徒が一緒に解いた1問をもとにしています。先生が「今回どこまで問題解けた？」と聞くと、生徒はこう答えていました。
1番から分かんなくて
ちょっと難しいもんね
この記事では、問題文を図にするところから始めて、(1)で式とxの変域を求め、(2)でグラフをかき、(3)で家から8kmの地点にいる時間を求めるところまで、授業と同じ順番で進めます。最後に、授業では扱っていない検算も付けておきます。
先に動画で確認したい方はこちらからどうぞ。
今回の問題と、授業で止まっていたところ
今回いっしょに考えるのは、次の問題です。授業での読み上げをもとに、問題の内容をまとめています。
> たけしさんの家から10km離れたところに図書館がある。家から図書館までの途中、家から4kmのところに学校がある。たけしさんは自転車に乗って学校を出発し、図書館で本を返却してから家に帰った。自転車は一定の速さで分速400mである。図書館での本の返却にかかった時間は考えない。たけしさんが学校を出発してからx分後に、家からykmの地点にいるとする。
> (1) xとyの関係を式に表しなさい。また、xの変域も求めなさい。
> (2) xとyの関係をグラフに表しなさい。
> (3) たけしさんが家から8kmの地点にいるのは、学校を出発してから何分後か。全て答えなさい。
図は文章で説明しておきます。横に1本の線があり、左から家、学校、図書館の順に並んでいます。家から学校までが4km、家から図書館までが10kmです。
先生が問題文を読み上げたあと、生徒の状況を聞くと、(1)の最初の一歩から止まっていました。ここから、先生は問題文を図に書き込むところから始めました。
核の考え方：文章を図にして、xとyが何を表すかを決める
先生が最初に伝えたのは、解き方より前の「準備」でした。先生は「いいね、文章問題のポイントは問題文に書いてあることをなるべくこういう図に書き込む」と話していました。
図に書き込むと、家から学校が4km、家から図書館が10kmなので、学校から図書館の間は6kmだと分かります。先生が「学校から図書館の間は何km？」と聞くと、生徒は「6km」と答えました。
次に、文字の意味をはっきりさせます。xは「学校を出発してからの時間（分）」、yは「家からの距離（km）」です。yの意味は、先生が問題文を読み上げている途中、問題を解き始める前に、先に念を押していました。先生は「走った距離じゃなくて家からどれくらいの距離いるの？」と話しています。
yは「走った距離」ではなく、「家からの距離」です。学校は最初から家から4kmの地点にいるので、出発の時点でy＝4からスタートします。この違いが、あとでグラフの出発点になります。
ステップ1：分速400mを分速0.4kmにして、単位をそろえる
速さ・距離・時間の問題では、先に単位をそろえます。先生は、時間と距離の単位を生徒に聞いていきました。先生が「今回時間の単位は何で表されてる？」と聞くと、生徒は「えー、分」と答えました。続けて距離の単位を聞かれると、「単位、km」と答えています。
時間は「分」、距離は「km」なので、分速400mのmをkmに直しておくと計算しやすくなります。1kmは1000mなので、400mは0.4kmです。
分速400m＝分速0.4km
先生は「小数で表した方が分かりやすいかなと思います」「分数でも全然いいから、5分の2でもいいんだけれど」と話していました。分数で進めたい人は、5分の2で置き換えても同じ答えになります。
ステップ2：学校から図書館へ行くまでの式（場合1）
このあと、先生は、学校から図書館へ行くときと、図書館から帰ってくるときの「2つに場合分けできます」と整理しました。まず場合1、学校から図書館へ向かうときを考えます。
学校を出発してx分後には、学校から0.4x km進んでいます。学校は家から4kmの地点なので、家からの距離は、4kmに0.4xを足した値になります。先生が「ここの距離は何kmだ？」と聞くと、生徒は「y−4」と答え、続けて先生が「xで表してあげるとどうなる？」と聞くと「0.4x」と答えました。
y＝0.4x＋4
xの変域は、学校を出発した0分から、図書館に着くまでです。学校から図書館は6kmで、毎分0.4kmずつ進むので、図書館に着くまでの時間は6÷0.4です。生徒は「6÷0.4」と式を立て、「15」と答えました。
xの変域：0以上15以下
ステップ3：図書館から家へ帰るときの式（場合2）
ここが、この問題でいちばん差がつくところです。図書館から家に向かって帰るとき、家からの距離をxで表します。先生が「このykmってx使うとどうやって表してあげたらいいと思う？」と聞くと、生徒は「10−0.4x」と答えました。
先生は「おっ、いいね、全体の10kmからここの距離を引いてあげれば求まるってことでしょ？」と受け止めたうえで、「それだけだとバツもなっちゃう、xっていつスタートの話だっけこれ？」と聞きました。生徒は「あー、学校」と答えています。
考え方は合っていました。止まったのは、その「x」が、いつからの時間なのかというところです。
xは「学校を出発してからの時間」です。でも、帰り道で図書館から家へ進んだ距離は、「図書館を出発してからの時間」で決まります。学校から図書館まで15分かかっているので、図書館を出発してからの時間は、x−15です。先生は、全体の時間から図書館まで行った15分を引き、その時間に0.4の速さをかけると、「ここの距離って求まるよねって話にならない？」と説明していました。
図書館から進んだ距離は0.4×(x−15)なので、家からの距離は、全体の10kmからその距離を引いて求めます。
y＝10−0.4×(x−15)
かっこを外して整理します。
y＝10−0.4x＋6
y＝−0.4x＋16
xの変域も決めます。帰り道の始まりは、図書館に着いた15分後なので、xは15以上です。終わりは、家に着く時です。図書館から家までは10kmで、毎分0.4kmなので、10÷0.4＝25分かかります。図書館に着いたのが15分後だったので、15＋25で、家に着くのは40分後です。
xの変域：15以上40以下
(1)の答えをまとめます。
- xが0以上15以下のとき、y＝0.4x＋4
- xが15以上40以下のとき、y＝−0.4x＋16
(2)グラフに表す：2点を決めて直線で結ぶ
(2)は、(1)で求めた2本の式をグラフに表します。先生はまず、グラフをフリーハンドでかくときの決まりごととして、「x軸y軸であと0っていうこの3点セットを書くようにしましょう」と話しました。
x軸は時間なので、マイナスはありません。そこで、右半分だけを使います。
一次関数のグラフは直線になります。先生は、このことを使うと、傾きや切片を考えなくても、2点が決まれば直線が引けると説明していました。先生の言葉では「ってことは2点の座標さえ分かればあとは直線でビーって引いてあげるだけなんだ」です。
2本の式で必要な点は、次の3つです。
- x＝0のとき、y＝4（学校を出発した時点）
- x＝15のとき、y＝10（図書館に着いた時点）
- x＝40のとき、y＝0（家に着いた時点）
ここで、生徒が1か所つまずいています。40分後に家にいる、と分かったあと、そのときのyは何kmかを聞かれて、生徒は「10」と答えました。先生は「惜しい、家からの距離なわけだよねyって」「家にいるということはゼロじゃね？」と返しています。
yは「家からの距離」なので、家に着いた40分後は、y＝0です。点(0,4)から点(15,10)へ直線を引き、点(15,10)から点(40,0)へ直線を引くと、折れ線のグラフが完成します。家からの距離は、時間がたつにつれて増え、図書館に着いたあとは減って、0になります。
(3)家から8kmの地点にいる時間を求める
(3)は、「家から8kmの地点にいるのは、学校を出発してから何分後か」を、全て答える問題です。先生は、やり方が2つあると説明しています。
1つ目は、グラフから読み取る方法です。「家から8km」は、yの値が8になる時です。グラフ上でyが8になる点を探すと、行きと帰りで、2つの点があります。先生も「この2点が存在する」と話していました。ただし、フリーハンドのグラフでは正確な値が読み取れません。
そこで、2つ目の方法を使います。2本の式のyに8を入れて計算する方法です。先生は「代入して計算してあげるっていうのが大事になる」と話していました。
行きの式にy＝8を入れる
8＝0.4x＋4
0.4x＝8−4
0.4x＝4
x＝10
帰りの式にy＝8を入れる
8＝−0.4x＋16
0.4xを移項すると、先生が説明していたように、マイナスが外れます。
0.4x＝16−8
0.4x＝8
x＝20
答えの確かめ方
ここは授業では扱っていない確認です。xが10と20です。10は行きの変域（0以上15以下）の中に、20は帰りの変域（15以上40以下）の中に入っています。2つとも、その式を使ってよい範囲の中の値だと確かめられました。
(3)の答え：10分後と20分後
先生が「家からの距離が8kmの時は10分後と20分後という答えが成り立つと思うんだけれど」と確かめて、「合ってる？」と聞くと、生徒は「はい」と答えました。
答えの検算：別の見方で、10分後と20分後を確かめる
ここは授業では扱っていない補足です。帰り道の20分後が合っているか、別の見方で確かめます。
家から8kmの地点は、図書館から10−8＝2km手前です。図書館から2km進むのにかかる時間は、2÷0.4＝5分です。図書館に着いたのが15分後なので、15＋5＝20で、帰り道の20分後と一致します。
行きの10分後も確かめます。学校から10分で進む距離は0.4×10＝4kmです。学校は家から4kmの地点なので、4＋4＝8kmと一致します。
よくあるつまずき
授業の中で出てきた言葉と、この問題でよくある誤りをまとめます。
- 帰り道の式で、xをそのまま使ってしまう。xは学校を出発してからの時間です。帰り道は、図書館を出発してからの時間（x−15）で進んだ距離を出します
- yを「走った距離」と考えてしまう。yは家からの距離です。出発の時点でy＝4になります
- 変域のx＝15と40を、書き忘れる。行きは0以上15以下、帰りは15以上40以下です
- 家に着いた時のyを、10と答える。家にいるときの「家からの距離」は0kmです
- 8kmの地点にいる時間を、1つしか答えない。「全て答えなさい」と書いてあるときは、行きと帰りの2つの式を確かめます
- 速さの単位をそろえずに、400と0.4を混ぜて計算する
よくある質問
ここは授業では扱っていない補足をふくみます。
Q. 帰り道の式で、なぜxから15を引くのですか？
A. xは「学校を出発してからの時間」で、図書館に着いたのが15分後だからです。帰り道で進んだ距離は、図書館を出発してからの時間で決まります。その時間は、x−15です。
Q. 帰り道の式を、ほかの方法で作ることはできますか？
A. できます。帰り道は、(15,10)と(40,0)の2点を通る直線なので、この2点を使って直線の式を作る方法もあります。先生は「2点の座標さえ分かればあとは直線でビーって引いてあげるだけなんだ」と、グラフをかくときにこの考え方を使っていました。
Q. 同じ一次関数の文章題で、グラフを式にする問題はほかにもありますか？
A. あります。2つの水そうの水量を式にして、グラフを読む問題の記事もあります。
まとめ
往復の文章題は、行きと帰りで式が変わります。まず問題文を図にして、xとyが何を表すかを決めます。そのあと、行きと帰りに分けて式を立て、それぞれの変域を求めます。帰り道の式では、xが「学校を出発してからの時間」であることを思い出して、図書館に着いた15分を引きます。
今回の問題では、(1)で、xが0以上15以下のときy＝0.4x＋4、xが15以上40以下のときy＝−0.4x＋16と求めました。(2)では、点(0,4)・(15,10)・(40,0)を直線で結び、折れ線のグラフをかきました。(3)では、2本の式にy＝8を入れて、10分後と20分後を求めました。
先生は授業の最後に、生徒へ「合ってる？」と確かめていました。(1)の帰り道の式が作れると、(2)も(3)も、同じ式を使って進められます。もう一度、自分の手で、図に書き込むところから、帰り道の式まで書いてみてください。
この問題のポイント
- 文章題は、問題文を図に書き込んでから式を立てる
- xは学校を出発してからの時間（分）、yは家からの距離（km）。分速400mは分速0.4kmに直す
- 行きの式はy＝0.4x＋4（xは0以上15以下）
- 帰り道の式はy＝−0.4x＋16（xは15以上40以下）。xから、図書館に着くまでの15分を引いて作る
- y＝8を2本の式に入れると、x＝10とx＝20。答えは10分後と20分後
往復の文章題で、帰り道の式がずれてしまった。xが何の時間なのか、分からなくなった。そんなつまずきは、Laf先生の公式LINEから気軽に質問してください。オンライン学習塾Lafでは、無料のオンライン授業も開催しています。「わからない」を「わかった！」に、一緒に変えていきましょう。
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